2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年广东，理1，5分】若集合|(4)(1)0Mxxx，|(4)(1)0Nxxx，则MN（）（A）1,4（B）1,4（C）0（D）【答案】D【解析】(4)(1)04,1Mxxx，(4)(1)01,4Nxxx，MN故选D．（2）【2015年广东，理2，5分】若复数i(32i)z（i是虚数单位），则z（）（A）23i（B）23i（C）32i（D）32i【答案】A【解析】i(32i)3i2z，23iz，故选A．（3）【2015年广东，理3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）（A）21yx（B）1yxx（C）122xxy（D）xyxe【答案】D【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数，D选项为非奇非偶函数，故选B．（4）【2015年广东，理4，5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为（）（A）521（B）1021（C）1121（D）1【答案】B【解析】111052151021CCPC，故选B．（5）【2015年广东，理5，5分】平行于直线2++1=0xy且与圆225xy相切的直线的方程是（）（A）250250xyxy或（B）250250xyxy或（C）250250xyxy或（D）250250xyxy或【答案】A【解析】设所求直线为02cyx，因为圆心坐标为0,0，则由直线与圆相切可得25521ccd，解得5c，所求直线方程为250250xyxy或，故选A．（6）【2015年广东，理6，5分】若变量,xy满足约束条件4581302xyxy，则32zxy的最小值为（）（A）4（B）235（C）6（D）315【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32zxy，则当目标函数过点81,5，32zxy取最小值为235，故选B．（7）【2015年广东，理7，5分】已知双曲线2222:1xyCab的离心率54e，且其右焦点为2(5,0)F，则双曲线C的方程为（）2（A）22143xy（B）221916xy（C）221169xy（D）22134xy【答案】C【解析】由双曲线右焦点为2(5,0)F，则5c，544ceaa．2229bca，所以双曲线方程为221169xy，故选C．（8）【2015年广东，理8，5分】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）（A）至多等于3（B）至多等于4（C）等于5（D）大于5【答案】B【解析】当3n时，正三角形的三个顶点符合条件；当4n时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A，C，D四个选项，故选B．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13）（9）【2015年广东，理9，5分】在4x（-1）的展开式中，x的系数为．【答案】6【解析】4424411rrrrrrCxCx，则当2r时，x的系数为22416C．（10）【2015年广东，理10，5分】在等差数列{}na中，若3456725aaaaa，则28aa．【答案】10【解析】由等差数列性质得，345675525aaaaaa，解得55a，所以285210aaa．（11）【2015年广东，理11，5分】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6C，则b=．【答案】1【解析】15sin,266BB或，又6C，故6B，所以，23A由正弦定理得，sinsinabAB，所以1b．（12）【2015年广东，理12，5分】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）．【答案】1560【解析】40391560．（13）【2015年广东，理13，5分】已知随机变量X服从二项分布(,)Bnp，()30EX，()20DX，则p．【答案】13【解析】30EXnp，(1)20DXnpp，解得13p．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2015年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sin()24，点A的极坐标为7(22,)4A，则点A到直线l的距离为．【答案】522【解析】222sin()2(sincos)2422sincos1．即直线l的直角坐标方程为110yxxy，即，点A的直角坐标为2,2，A到直线的距离为2215222d．（15）【2015年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB是圆O的直径，4AB，EC是圆O的切线，切点为C，1BC，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD3=．【答案】8【解析】如图所示，连结O，C两点，则OCCD，ODAC90CDOACD90ACDCBACBACAB，，CDOCAB，所以ODOCABBC，所以8OD．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2015年广东，理16，12分】在平面直角坐标系xOy中，已知向量22,22m，sin,cosnxx，0,2x．（1）若mn，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为3，求x的值．解：（1）2222,sin,cossincossin22224mnxxxxx，mn，0mn，即sin04x，sin04x，又0,2x，444x，04x．即4x，tantan14x．（2）依题意2222sin4cossin3422sincos22xmnmnxx，1sin42x，又,444x，46x，即56412x．（17）【2015年广东，理17，12分】某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140244340441533640745842943103611311238133914431545163917381836192720432141223723342442253726442742283429393043313832423353343735493639（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x和方差2s；（3）36名工人中年龄在xs-与xs+之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0．01%）？解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由（1）中的样本年龄数据可得，1444036433637444337409x，则1222222222444040403640434036403740444043409s23740=9100．（3）由题意知年龄在100100404099，之间，即年龄在3743，之间，4由（1）中容量为9的样本中年龄、在3743，之间的有5人，所以在36人中年龄在3743，之间的有536209（人），则所占百分比为20100%55.56%36．（18）【2015年广东，理18，14分】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，4PDPC，6AB，3BC，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且2AFFB，2CGGB．（1）证明：PEFG；（2）求二面角PADC的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．解：（1）PDPCPDC为等腰三角形，E为CD边的中点，所以PEDC，PDCABCD平面平面，PDCABCDDC平面平面，且PEPDC平面，∴PEABCD平面FGABCD平面，PEFG．（2）由长方形ABCD知，ADDC，PDCABCD平面平面，PDCABCDDC平面平面，且ADABCD平面ADPDC平面PDPDC平面，PDADDCADPDADPCPDADCCAD由，，且平面，平面．PDCPADC即为二面角，由长方形ABCD得6DCAB，E为CD边的中点，则132DEDC，2243437PDDEPEDCPE，，，7tan3PEPDCDE即二面角PADC的正切值为73．（3）如图，连结A，C，22AFFBCGGB，BFBGABBC，//FGAC，PAC为直线PA与直线FG所成角．由长方形ABCD中63ABBC，得：226335AC由（2）知ADPD，34ADBCPD，22345AP，由题意知4PC，22295cos225APACPCPACAPAC，所以，直线PA与直线FG所成角的余弦值为9525．（19）【2015年广东，理19，14分】设1a，函数2()(1)xfxxea=+-．（1）求()fx的单调区间；（2）证明：()fx在,上仅有一个零点；（3）若曲线()yfx=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)Mma的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：321mae．解：（1）2()(1)xfxxea，22()=2(1)(1)xxxfxxexexe，xR时，()0fx恒成立．()fx的单调递增区间为R．（2）由（1）可知()fx在R上为单调递增函数，当xa，()=(+)(1)aaafaaeaeae1，1a，()0fa，()fx在(,)仅有一个零点．（3）令点P为00(,)xy，曲线()yfx在点P处的切线与x轴平行，0200()=(1)0xfxxe，0=1x，2(1,)Pae，直线OP斜率为221opaekae，在点,Mmn处的切线与直线OP平行，22()(1)mfmmeae．要证明321mae，即证32(1)mae．要证明32(1)(1)mm，需证明1mme，设()1mgmem，()1mgme，令()0,0gmm，()gm在(-,0)上单调递减，在+(0，)上单调递增，()(0)0gmg，510mem，1mem，命题得证．（20）【2015年广东，理20，14分】已知过原点的动直线l与圆221:650Cxyx+-+=相交于不同的两点A，B．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线:(4)Lykx=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k