圆的培优专题(含解答)

第1题第2题第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若DAB＝20，DAC＝30，则BDC＝.（BDC＝12BAC＝100）2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若C＝100，则BAD＝.（50）3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CBD＝20，BDC＝30，则BAD＝.（BAD＝BAC＋CAD＝40＋60＝100）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D＝60，则AEC＝.（AEC＝2B＝2D＝120）5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，ABC＝ADC＝70，则DAO＋DCO＝.（所求＝360－ADC－AOC＝150）6、如图，四边形ABCD中，ACB＝ADB＝90，ADC＝25，则ABC＝.（ABC＝ADC＝25）第7题第8题第9题解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆.二运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB为⊙O的直径，C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则ADC＝.8、如图，AB为⊙O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC＝.9、如图，AB为⊙O的直径，3BCAC，则ABC＝.答案：7、45；8、30；9、；10、40；11、150；12、110解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BAC＝50，则ADC＝.11、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则BOC＝.12、如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，若ACCD，P＝30，则BDC＝.（设ADC＝x，即可展开解决问题）第10题第11题第12题解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB是⊙O的弦，ODAB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若BED＝30，⊙O的半径为4，则弦AB的长是.略解：∵ODAB，∴AB＝2AC，且ACO＝90，∵BED＝30，∴AOC＝2BED＝60∴OAC＝30，OC＝12OA＝2，则AC＝23，因此AB＝43.2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝.略解：∵直径CD弦AB，∴AE＝BE＝12AB=3∴OE＝22534，则CE＝5＋4＝9∴BC＝2293310第4题第5题第6题3、如图，⊙O的半径为25，弦ABCD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝.略解：如图，过点O作OEAB，OFCD，连接OB，OD.则BE＝12AB＝4，DF＝12CD＝3，且OB＝OD＝25OE＝22(25)42，OF＝22(25)311又ABCD，则四边形OEPF是矩形，则OP＝222(11)154、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，A＝B＝60，则⊙O的半径为.略解：如图，过点O作ODAB，连接OB，则AD＝12AB＝4，因此，BD＝8，OD＝43∴OB＝22(43)847.5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，DCA＝15，CD＝10，则BC＝略解：如图，连接OC，OD，则ODC＝OCD∵△ABC为等边三角形，则OCA＝OCE＝30，∴ODC＝OCD＝45∴△OCD是等腰三角形，则OC＝52过点O作OEBC，则BC＝2CE＝566、如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB的中点，E为OB上一点，AEC＝60，CE的延长线交⊙O于点D，则CD＝略解：如图，连接OC，则OC＝2∵C为AB的中点，则OCAB，又AEC＝60，∴OCE＝30如图，过点O作OFCD，则OF＝12OC＝1，CF＝3，∴CD＝2CF＝237、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.问：A地是否受到这次台风的影响若受到影响，请求出受影响的时间解：如图，过点A作ACBF交于点C，∵ABF＝30，则AC＝12AB＝150200，因此A地会受到这次台风影响；如图，以A为圆心200千米为半径作⊙A交BF于D、E两点，连接AD，则DE＝2CD＝2222001501007，所以受影响的时间为100710710（时）圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长.解：如图，连接AB，BD，在CB的延长线上截取BE＝AC，连接DE∵ACD＝BCD，∴AD＝BD又CAD＝EBD，AC＝BE∴△CAD≌△EBD（SAS）∴CD＝DE，ADC＝BDE∵AB为⊙O的直径，则ACB＝ADB＝90∴BC＝221068；ADC＋CDB＝CDB＋BDE＝90，即CDE＝90∴△CDE是等腰直角三角形且CE＝14，∴CD＝722、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且MA＝MD，若CM＝2，求BD的长.解：如图，连接AC，则AC＝BC，C＝90，即△ABC是等腰直角三角形过点M作MN∥AD，则NMA＝MAD则△CMN也是等腰直角三角形，则MN＝2CM＝2∴ANC＝MBD＝135，又MA＝MD，∴D＝NMA＝MAD∴△AMN≌△BMD（AAS）∴BD＝MN＝23、如图，AB为⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为AN上一点，NC＝3.求BC－AC的值.解：如图，连接AN，BN，则△ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD＝AC，连接DN∵AN＝BN，CAN＝DBN，AC＝BD∴△ACN≌△BDN（SAS）∴CN＝DN，CNA＝DNB，∴CND＝CNA＋AND＝ADN＋DNB＝90，即△CND是等腰直角三角形∴CD＝2NC＝6，∴BC－AC＝BC－BD＝CD＝64、如图，点A、B、C为⊙O上三点，ACBC，点M为BC上一点，CEAM于E，AE＝5，ME＝3，求BM的长.解：如图，在AM上截取AN＝BM，连接CN，CM.∵ACBC，∴AC＝BC，又A＝B∴△ACN≌△BCM（SAS）∴CN＝CM，又CEAM∴NE＝ME＝3，∴BM＝AN＝AE－NE＝25、如图，在⊙O中，P为BAC的中点，PDCD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1，求AB的长.解：如图，连接BP、CP，则BP＝CP，B＝C过点P作PEAB于点E，又PDCD∴BEP＝CDP∴△BEP≌△CDP（AAS）∴BE＝CD＝3+1＝4，PE＝PD连接AP，则Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），则AE＝AD＝1∴AB＝AE+BE＝56、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB＝10，MN＝8.求BF－AE的值.解：∵AEMN，BFMN，则AE∥BF，∴A＝B如图，延长EO交BF于点G，则AOE＝BOG，AO＝BO∴△AOE≌△BOG（AAS），则OE＝OG过点O作OHMN，FG＝2OH，HN＝4连接ON，则ON＝5，OH＝22543，则BG－AE＝FG＝6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦ACBC，点N是AB的中点，BNC＝60，求BNBC的值.解：如图，连接AB，则AB为直径，∴BNA＝90连接AN，则BN＝AN，则△ABN是等腰直角三角形∴BN＝22AB；又BAC＝BNC＝60，∴BC＝32AB，∴BNBC＝63（方法2，过点B作BDCN，即可求解）2、如图，⊙O的弦ACBD，且AC＝BD，若AD＝22，求⊙O半径.解：如图，作直径AE，连接DE，则ADE＝90又ACBD，则ADB＋DAC＝ADB＋EDB＝90∴DAC＝EDB，则CDBE，∴DEBC，∵AC＝BD，∴ACCD，则ADBCDE∴AD＝DE，即△ADE是等腰直角三角形∴AE＝2AD＝4，即⊙O的半径为23、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD＝45，CEAB于点E，DFAB于点F.（1）求证：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.（1）证：∵AB为⊙O的直径，CAD＝45，则△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC又CEAB，则CAE＝ECB如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G又CEAB，DFAB，则四边形CEFG是矩形，AEC＝DGC＝90∴EF＝CG，CE∥DG，则ECB＝CDG＝CAE∴△ACE≌△DCG（AAS），则CE＝CG＝EF（2）略解：AC＝CD＝2246213.4、如图，AB为⊙O的直径，CDAB于点D，CD交AE于点F，ACCE.（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长（1）证：如图，延长CD交⊙O于点G，连接AC∵直径ABCG，则AGACCE∴CAE＝ACG，则AF＝CF（2）解：如图，连接OC交AE于点H，则OCAE，EH＝AH＝12AE=4∴OH＝22543，则CH＝5－3＝2设HF＝x，则CF＝AF＝4－x则2222(4)xx，∴32x，即HF＝32∴EF＝1125、如图，在⊙O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD.（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径.（1）证：∵CDAB，AMBC∴C＋CNM＝C＋B＝90∴B＝CNM，又B＝D，AND＝CNM∴D＝AND，即AD＝AN（2）解：∵直径CD弦AB，则AE＝22又AN＝AD，则NE＝ED如图，连接OA，设OE＝x，则NE＝ED＝1x∴OA＝OD＝21x∴222(22)(21)xx，则1x∴⊙O的半径OA＝3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中，弦ABCD于E，求证：AOD＋BOC＝180.证：如图，连接AC，∵ABCD，则CAB＋ACD＝90又AOD＝2ACD，BOC＝2BAC∴AOD＋BOC＝180.2、在⊙O中，弦ABCD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2.证：∵ABCD，则CAB＋ACD＝90如图，作直径AM，连接CM则ACM＝ACD＋DCM＝90∴CAB＝DCM，∴BCDM∴CMBD，∴CM＝BD∵AC2＋CM2＝AM2∴AC2＋BD2＝4R2.3、在⊙O中，弦ABCD于点E，若点M为AC的中点，求证MEBD.证：如图，连接ME，并延长交BD于点F∵ABCD，且点M为AC的中点∴ME为Rt△AEC斜边上的中线∴AM＝ME∴A＝AEM＝BEF又B＝C，A＋C＝90∴BEF＋B＝90，即BFE＝90∴MEBD.4、在⊙O中，弦ABCD于点E，若ONBD于N，求证：ON＝12AC.证：如图，作直径BF，连接DF，则DFBD，又ONBD，∴ON∥FD，又OB＝OF∴ON＝12DF连接AF，则AFAB，又CDAB∴AF∥CD∴ACFD，则AC＝FD∴ON＝12AC5、在⊙O中，弦ABCD于点E，若AC＝BD，ONBD于N，OMAC于M.（1）求证：ME//ON；（2）求证：四边形OMEN为菱形.证：（1）如图，延长ME交OD于点F∵OMAC，则点