空间向量及其运算-教案

-1-空间向量及其运算教案教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．教学重、难点：共线、共面定理及其应用．教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：//ab．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//abbab的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．推论：如果l为经过已知点，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点在直线l上的充要条件是存在实数，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或(1)OPtOAtOB②当12t时，点是线段AB的中点，此时1()2OPOAOB③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使alPBAOaa-2-pxayb．推论：空间一点位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①上面①式叫做平面MAB的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，试判断：点与,,ABC是否一定共面？解：由题意：522OPOAOBOC，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP，∴22APPBPC，即22PAPBPC，所以，点与,,ABC共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O和不共线的三点,,ABC，问满足向量式OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的四点,,,PABC是否共面？解：∵(1)OPzyOAyOBzOC，∴()()OPOAyOBOAzOCOA，∴APyABzAC，∴点与点,,ABC共面．例2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFKOBOGkOCOHkOD，（1）求证：四点,,,EFGH共面；（2）平面AC//平面EG．OABCDHFGE-3-解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，∵EGOGOE，()()()kOCkOAkOCOAkACkABADkOBOAODOAOFOEOHOEEFEH∴,,,EFGH共面；（2）∵()EFOFOEkOBOAkAB，又∵EGkAC，∴//,//EFABEGAC所以，平面//AC平面EG．五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量21,ee不共线，如果21ABee，2128ACee，2133ADee，求证：,,,ABCD共面．2．已知324,(1)82amnpbxmnyp，0a，若//ab，求实数,xy的值。3．如图，,,,EFGH分别为正方体1AC的棱11111111,,,ABADBCDC的中点，求证：（1）,,,EFDB四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．4．已知,,,EFGH分别是空间四边形ABCD边,,,ABBCCDDA的中点，（1）用向量法证明：,,,EFGH四点共面；（2）用向量法证明：//BD平面EFGH．D1C1B1A1HGFEDCBAABCDFEGH