搜索
§4用向量讨论垂直与平行●三维目标1．知识与技能掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直与平行问题．2．过程与方法通过对定理的证明，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法．3．情感、态度与价值观通过对定理的证明，形成多元多维的角度看待立体几何问题的观点．●重点难点重点：用向量方法证明立体几何中的垂直与平行问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，用向量语言证明立体几何中的垂直与平行问题．用向量讨论垂直与平行要围绕两个问题展开教学，一是用什么刻化空间中的垂直与平行；二是怎样刻化．在教学中，引导学生先自主探究，再小组讨论，在这个过程中，让学生去领会用向量讨论垂直与平行的方法．(教师用书独具)●教学建议1．树立以学生发展为本的思想．通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程．2．在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理，通过类比、对比和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去．3．利用多媒体辅助教学，增强动感与直观性，提高教学效果和教学质量．●教学流程设置情境引入课题――→回顾方向向量与法向量在刻化直线与平面中的作用――→探究如何用方向向量与法向量描述空间中的垂直与平行关系――→应用通过例题领会垂直与平行的向量证法――→体验通过练习体验向量法的应用――→总结归纳总结升华认识课标解读1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点)2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点)3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)用向量讨论垂直关系【问题导思】1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n.(1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？【提示】m∥n.(2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？【提示】l⊥α.2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？【提示】可用直线的方向向量与平面的法向量讨论立体几何中的垂直问题．立体几何中垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)．(3)面面垂直：π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.用向量讨论平行关系【问题导思】1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？【提示】l∥α或lα.成立．2．已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一个基底，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？【提示】l∥α或lα.成立．立体几何中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．(2)线面平行：l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0.(3)面面平行：π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R).平面的法向量的求法如图2－4－1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，图2－4－1(1)求面A1BC1的一个法向量．(2)若M为CD的中点，求面AMD1的一个法向量．【思路探究】(1)直接找平面垂线的方向向量．(2)选基向量AM→，AD1→→设平面的法向量→运算求参数的关系式→赋值→结论【自主解答】以A为坐标原点，分别以AB→，AD→，AA1→所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a.(1)∵B1D⊥BC1，B1D⊥A1B，BC1∩A1B＝B，∴B1D⊥面A1BC1，又∵B1D→＝(0，a,0)－(a,0，a)＝(－a，a，－a)，∴n2＝1aB1D→＝(－1,1，－1)为面A1BC1的一个法向量．(2)设n＝(x0，y0，z0)为面AMD1的法向量，∵AM→＝(a2，a,0)，AD1→＝(0，a，a)，∴n·AM→＝x0，y0，z0·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，n·AD1→＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0.令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)为面AMD1的一个法向量．求一个平面的法向量，主要有以下两种方法：1．根据立体几何的知识，可以明确找到该平面的垂线，则以该垂线的方向向量为该平面的法向量．2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．【解】∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n＝(x，y，z)，依题意，应用n·AB→＝0且n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，解得z＝0且x＝2y，令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0).用向量证明垂直问题图2－4－2如图2－4－2所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【思路探究】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.【自主解答】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如题图所示的空间直角坐标系．A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，12)，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE→＝(－2,0，12)．设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒z1＝0，－2x1＋2y1＝0.令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：1．利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；2．直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【证明】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则有A(2,0,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴EF→＝(－1，－1,1)，AB1→＝(0,2,2)，AC→＝(－2,2,0)．设平面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)．由n·AB1→＝0，n·AC→＝0，∴2y＋2z＝0，－2x＋2y＝0.令x＝1，可得：y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)＝－EF→，∴n∥EF→，∴EF⊥平面B1AC.用向量证明平行问题如图2－4－3在正方体ABCD—A1B1C1D1中，图2－4－3若O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1.【思路探究】要证明BO1∥平面ACD1，根据直线与平面平行的条件，①证明BO1→与平面ACD1内的两个向量共面；②证明BO1→与平面ACD1内的一个向量平行．【自主解答】法一：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)、D1(0,0,2)、C(0,2,0)、B(2,2,0)、O1(1,1,2)，∴AD1→＝(－2,0,2)，CD1→＝(0，－2，2)，BO1→＝(－1，－1，2)．∴BO1→＝12AD1→＋12CD1→.∴BO1→与AD1→、CD1→共面．∴BO1→∥平面ACD1.又BO1⃘平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.法二：建立空间直角坐标系同法一，设BD的中点为O，则O(1,1,0)，OD1→＝(－1，－1,2)．∵BO1→＝(－1，－1,2)，∴BO1→＝OD1→，∴BO1→∥OD1→.又∵OD1平面ACD1，BO1⃘平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.1．证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；(2)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；(2)证明两个平面的法向量平行．在正方体AC1中，O，M分别为DB1，D1C1的中点，证明：OM∥BC1.【证明】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，OM→＝(－1,0,1)，BC1→＝(－2,0,2)，∴OM→＝12BC1→，∴OM→∥BC1→，∴OM∥BC1.证明线面平行时，推理不严谨致误在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D为AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.【错解】∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.∴AC，BC，CC1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．设CB1与C1B的交点为E，则E(0,2,2)，连接ED．∵DE→＝(－32，0,2)，AC1→＝(－3,0,4)，∴DE→＝12AC1→，∴DE→∥AC1→，∴DE∥AC1，∴AC1∥平面CDB1.【错因分析】直线与平面平行的判定定理中有三个条件，在本题的证明中，只证明其中一个条件，而未说明其余两个条件成立，造成推理不严谨致误．【防范措施】证明是一个演绎推理的过程，它要求条件要充分，在书定证明过程时，应用哪个定理，一定要写清该定理的使用条件，不能因为易证而不写．【正解】前面证明的部分同错解．∵DE平面CDB1，AC1⃘平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.1．直线的方向向量与平面的法向量可以用来确定直线与平面的位置，在讨论垂直与平行时，要注意对方向向量与法向量的考查．2．空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．1．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交D．异面【解析】由a＝λb(λ≠0)，知a∥b，由b·c＝0，知b⊥c，故选A.【答案】A2．若OA→＝(1,2,3)，OB→＝(－1,3,4)，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是()A．(1,7,5)B．(1，－7,5)C．(－1，－7,5)D．(1，－7，－5)【解析】经检验，只有向量(－1，－7,5)分别与OA→、OB→垂直，故选C.【答案】C3．已知直线l的一个方向向量为u＝(4,1，－2)，平面α的一个法向量为v＝(1,0,2)，则l与α的位置关系是________．【解析】∵u·v＝4×1＋1×0＋(－2)×2＝0，∴u⊥v，∴lα或l∥α.【答案】平行或在平面内图2－4－44．如图2－4－4所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA