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1《圆》知识点与典型例题复习●知识点汇总；一、认识圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21。用字母表示为：d＝2r或r＝2d8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π（pai）表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。4、圆的周长公式：C=πdd=C÷π或C=2πrr=C÷2π5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr＋2r即5.14r三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。22、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长因为：长方形面积=长×宽所以：圆的面积=圆周长的一半×圆的半径S圆=πr×r圆的面积公式：S圆=πr2r2=S÷π4、环形的面积:一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）环形的面积公式：S环=πR²－πｒ²或S环=π（R²－ｒ²）。5、扇形的面积计算公式：S扇=πr2×360n（n表示扇形圆心角的度数）6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。7、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶98、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。10、常用各π值结果：π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π=15.76π=18.847π=21.988π=25.129π=28.2610π=31.416π=50.2425π=78.536π=113.0464π=200.9696π=301.4411、常用平方数结果11²=12112²=14413²=16914²=19615²=22516²=25617²=28918²=32419²=3613●典型例题一一、、圆圆的的特特征征。。1、填空：⑴在右图中，点O是圆的（），线段OA是圆的（），它是连接（）和（）任意一点的线段，一般用字母（）表示。线段（）是圆的直径，一般用字母（）表示。在同一个圆中，直径与半径的长度比是（）。⑵画圆时，（）决定圆的位置，（）决定圆的大小。2、判断：⑴要使汽车行驶平稳，车轴应装在轮子所在的圆的圆心处。（）⑵两端都在圆上的线段，直径最长。（）⑶在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。（）⑷两端都在圆上的线段，直径最长。（）3、选择：下面图形中，（）有无数条对称轴。①正方形②等边三角形③长方形④圆4、操作：⑴用圆规画一个直径是4cm的圆。⑵找出下图圆的圆心，并用字母o标示出来。⑶画出下面每一个图形的所有的对称轴。二、圆的周长1、填空：⑴围成圆的曲线的长是圆的（）。圆不论大小，它的（）总是（）的π倍，这个固定的倍数π叫做（）。⑵一个闹钟的分针长3cm，经过一小时，分针的尖端走了（）cm。⑶右图，长方形的周长是（）cm。2、判断：圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长就扩大到原来的4倍。（）3、选择：⑴一个半圆，半径是r，它的周长是（）①πr②πr+r③πr+2r⑵甲乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从A点出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（）先回到起点。①甲②乙③同时⑶圆周率π是一个（）。①有限小数②无限不循环小数③循环小数4三、圆的面积1、填空：把一个圆分成若干（偶数）等份，能够拼成一个近似的长方形。这个近似长方形的长相当于这个圆周长的（），宽相当于这个圆的（），由此推导出圆的面积计算公式：S=（）。2、判断：圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的4倍。（）3、选择：两个圆的半径的比是2:3，那么它们的面积比是（）。①4:9②2:3③4:6四、综合解决问题1、填空：⑴在一张6cm，宽4cm的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的直径是（）cm。⑵完成下表。2、判断：半径是2cm的圆，它的周长和面积相等。（）3、计算：计算下面图形的周长和面积。（3）计算阴影部分的面积4、只列式不计算：⑴公园里有一个圆形花坛，半径10米。其中2/5钟了菊花，种菊花的面积是多少平方米？列式：⑵一辆自行车的车轮直径是0.8m，车轮每分钟转100周。要通过1256m的大桥，大约需要几分钟？列式：物品半径直径周长面积圆片4cm圆形花坛62.8m55、应用题：⑴一个半径是8米的圆形池塘，周围有一条2米的小路（如下图）。这条小路的面积是多少平方米？改：一个半径是8米的圆形花坛，里面有一块宽2米的草坪。这块草坪的面积是多少平方米？⑵有一圆形蓄水池，它的周长是31.4米。它的占地面积是多少平方米？⑶现要给一个水缸做一个直径为80厘米的圆形木盖，并围着木盖的边沿钉一条铁片铁片长多少厘米？在铁片上每隔10厘米钉一颗钉子，大约要钉多少颗钉子？（得数用四舍五入法保留整数）⑷一个运动场（如右图），两端是半圆形，中间是长方形。沿着这个运动场跑一圈，要跑多少米？给这个运动场铺上草坪，一共要铺草坪多少平方米？6、扩展题有一个半圆形花坛，周长是10.28米。这个花坛的面积是多少平方米？6●练习题一、判断题：1、圆的半径有无数条。…………………………………………………………（）2、圆的直径是半径的2倍。……………………………………………………（）3、圆有无数条对称轴。………………………………………………………（）4、圆的半径都相等。…………………………………………………………（）5、直径4厘米的圆与半径2厘米的圆一样大。………………………………（）6、半径2分米的圆的周长和面积一样大。…………………………………（）7、直径总比半径长。.............................................（）8、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。........................（）9、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也一定相等......（）10、半圆的周长就是这个圆周长的一半。……………………………………（）11、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。.......................（）12、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。............................（）13、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。...............................()14、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。...............()15、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。.......................()16、圆周率等于3.14。…………………………………………………………（）17、半径2厘米的圆，它的周长是6.28厘米。……………………………（）18、圆的直径都相等。…………………………………………………………（）19、经过一点可以画无数个圆。………………………………………………（）20、直径4厘米的圆的周长和面积一样大。…………………………………（）21、半圆的周长就等于这个圆周长的一半。……………………………………（）22、半圆的面积就是这个圆面积的一半。………………………………………（）23半径不仅决定圆面积的大小，而且还决定圆周长的长短。………………（）24、任何圆的面积总是它的半径的∏倍。………………………………………（）二、选择题。1、一个圆内，最长的线段是（）A.半径B.直径C.周长2、决定圆面积大小的是（）A.圆心B.半径C.圆周率3、一个圆的周长与直径的比值为（）A.无限不循环小数B.无限循环小数C.有限小数D.整数4、在下面关于直径的说法中，①通过圆心的线段；②两端都在圆上的线段；③圆内最长的直线；④圆的任意一条对称轴；⑤任意两条半径相连；⑥周长与圆周率的比值；⑦顶点在圆上的直角三角形的斜边；正确的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5、明明把一个圆形纸片至少对折（）次，才可以确定圆心．A.2B.3C.无数6、如图：一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（）A、π平方厘米B、9π平方厘米C、4.5π平方厘米D、3π平方厘米7第一讲圆的周长与面积学习提示：圆是一种由封闭的曲线围成的平面图形，在日常生活中随处可见。它的魅力、它的独特的性质使得它在人们生活和生产中的位置是其他形状所无法取代的。我们每人都经常遇见这样的问题：为一个圆形桌布绣上花边要买多长的花边；修一个圆形花圃要购买多少草皮；如何用现有的栅栏围成一个尽可能大的菜地等。这些都涉及到圆的周长和面积。圆的周长公式是22CrCdSr或，圆的面积公式是。求圆的周长和面积的必备条件是圆的半径或直径，但有时并不能求出半径，可以把2r做为一个条件来求解。圆是轴对称图形，在计算周长和面积时，还可以运用割补、旋转、平移等方法进行转化。典型题解例题1如图，求阴影部分的周长（单位：米）。分析如右图，阴影部分的周长分为三部分：弧AC、线段CB、圆O周长的一半ADB。△DOB是一个等腰直角三角形、角OBD的度数是45度，所以弧AC的所在圆的半径为20厘米，其长度是这个圆的周长的45360。线段CB的长与线段AB的长相等，都是20厘米。圆O的直径也是20厘米，其周长的一半可求。将三部分的长度相加即为阴影部分的周长。解答：（1）弧AC的长453.1420215.7360（）（厘米）（2）圆O周长的一半3.1420231.4（厘米）（3）阴影部分的周长15.7+20+31.4=67.1（厘米）答：阴影部分的周长67.1厘米例2、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分8米长的绳子（打结处绳长不计）？分析用绳子捆三圈的长度就是指周长的3倍。这个图形的周长可以分为两类：线段的长度（如线段AB）与弧的长度（如弧BC）。从下图不难看出：共有三条线段，每条线段的长度都等于圆的直径的长度：功有三段弧，三个圆的圆心相连得到一个正三角形，没个内角都是60度，