圆锥曲线试题及答案

1、页脚内容1椭圆一、选择题1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为()A.x216＋y212＝1B.x212＋y28＝1C.x28＋y24＝1D.x212＋y24＝1解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意知2c＝4，a2c＝4，∴c＝2，a2＝8，∴b2＝a2－c2＝4，故所求椭圆方程为x28＋y24＝1.2．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2解析：选C.由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝5×2a4－5a25a2－5＝23a，解得a2＝112，b2＝12.3．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0，22]B．(0，12]C．[2－1,1)D．[12，1)解析：选D.设P(x0，y0)，则|PF|＝a－ex0.又点F在AP的垂直平分线上，∴a－ex0＝a2c－c，因此x0＝aac－a2＋c2c2.又－a≤x0a，∴－a≤aac－a2＋c2c2a.∴－1≤e2＋e－1e21.又0e1，∴12≤e1.4．已知椭圆x24＋y23＝1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA＝12，则直线PB的斜率kPB为()1、页脚内容2A.34B.32C．－34D．－32解析：选D.设点P(x1，y1)(x1≠±2)，则kPA＝y1x1＋2，kPB＝y1x1－2，∵kPA·kPB＝y1x1＋2·y1x1－2＝y21x21－4＝31－x214x21－4＝－34，∴kPB＝－34kPA＝－34×2＝－32，故应选D.5．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，以其左焦点F1(－c,0)为圆心，以a－c为半径作圆，过上顶点B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M，N.若过两个切点M，N的直线恰好经过下顶点B1(0，－b)，则椭圆E的离心率为()A.2－1B.3－1C.5－2D.7－3解析：选B.由题意得，圆F1:(x＋c)2＋y2＝(a－c)2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则切线B2M：(x1＋c)(x＋c)＋y1y＝(a－c)2，切线B2N：(x2＋c)(x＋c)＋y2y＝(a－c)2.又两条切线都过点B2(0，b)，所以c(x1＋c)＋y1b＝(a－c)2，c(x2＋c)＋y2b＝(a－c)2.所以直线c(x＋c)＋yb＝(a－c)2就是过点M、N的直线．又直线MN过点B1(0，－b)，代入化简得c2－b2＝(a－c)2，所以e＝3－1.二、填空题6．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝17．(2011·高考江西卷)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足n－12m－1＝－mnm2＋n2＝1，解得B35，45.1、页脚内容3∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为x25＋y24＝1.答案：x25＋y24＝18．(2012·高考四川卷)椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为x29＋y25＝1，所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案：23三、解答题9．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF2→＝2F2B→，求椭圆C的方程．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c＝23，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20，直线l的方程为y＝3(x－2)．联立y＝3x－2x2a2＋y2b2＝1，得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0.解得y1＝－3b22＋2a3a2＋b2，y2＝－3b22－2a3a2＋b2.因为AF2→＝2F2B→，所以－y1＝2y2.即3b22＋2a3a2＋b2＝2·－3b22－2a3a2＋b2，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝5.故椭圆C的方程为x29＋y25＝1.10．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.1、页脚内容4(1)设e＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2＋y2b2＝1，C2：b2y2a4＋x2a2＝1(ab0)．设直线l：x＝t(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得At，aba2－t2，Bt，baa2－t2.当e＝12时，b＝32a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝2|yB|2|yA|＝b2a2＝34.(2)当t＝0时的l不符合题意，当t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即baa2－t2t＝aba2－t2t－a，解得t＝－ab2a2－b2＝－1－e2e2·a.因为|t|a，又0e1，所以1－e2e21，解得22e1.所以当0e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22e1时，存在直线l，使得BO∥AN.11．(探究选做)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝53.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x－7y＋1＝0上，求直线AC的方程．解：(1)设M(x1，y1)，∵F2(1,0)，|MF2|＝53.由抛物线定义，x1＋1＝53，∴x1＝23，∵y21＝4x1，∴y1＝263.∴M(23，263)，∵M在C1上，∴49a2＋83b2＝1，又b2＝a2－1，∴9a4－37a2＋4＝0，∴a2＝4或a2＝19c2舍去．∴a2＝4，b2＝3.∴椭圆C1的方程为x24＋y23＝1.1、页脚内容5(2)∵直线BD的方程为7x－7y＋1＝0，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC的方程为y＝－x＋my＝－x＋mx24＋y23＝1⇒7x2－8mx＋4m2－12＝0，∵A、C在椭圆C1上，∴Δ0，∴m27，∴－7m7.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝8m7.y1＋y2＝(－x1＋m)＋(－x2＋m)＝－(x1＋x2)＋2m＝－8m7＋2m＝6m7.∴AC的中点坐标为(4m7，3m7)，由ABCD为菱形可知，点(4m7，3m7)在直线BD：7x－7y＋1＝0上，∴7·4m7－7·3m7＋1＝0，m＝－1.∵m＝－1∈(－7，7)，∴直线AC的方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.双曲线一、选择题1．(2011·高考湖南卷)设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1解析：选C.渐近线方程可化为y＝±32x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴9a2＝±322，解得a＝±2.由题意知a0，∴a＝2.2．(2011·高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．23B．25C．43D．45解析：选B.双曲线左顶点为A1(－a,0)，渐近线为y＝±bax，抛物线y2＝2px(p0)焦点为Fp2，0，准线为直线x＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p＝4，由题意知2＋a＝4，∴a＝2.1、页脚内容6∴双曲线渐近线y＝±b2x中与准线x＝－p2交于(－2，－1)的渐近线为y＝b2x，∴－1＝b2×(－2)，∴b＝1.∴c2＝a2＋b2＝5，∴c＝5，∴2c＝25.3．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A、B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(0，2)B．(1，2)C．(22，1)D．(2，＋∞)解析：选B.法一：由x＝－a2c，y＝－bax，得A－a2c，abc.同理可得B－a2c，－abc.又左焦点F(－c,0)，∴FA→＝b2c，abc，FB→＝b2c，－abc.∵点F在以AB为直径的圆内，∴FA→·FB→0，即b2c2－abc20，∴b4a2b2，∴b2a2，即c2－a2a2，∴c22a2，即e22，∴e2.又∵e1，∴1e2.法二：由x＝－a2c，y＝－bax，得A－a2c，abc.同理可得B－a2c，－abc.∵点F(－c,0)在以AB为直径的圆内，∴左焦点F到圆心的距离小于半径长，即c－a2cabc，∴ab.∴e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a22.又∵e1，∴1e2.4．(2012·高考大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45解析：选C.由x2－y2＝2知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，∴a＝2，c＝2.又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22.又∵|F1F2|＝2c＝4，∴由余弦定理得cos∠F1PF2＝422＋222－422×42×22＝34.5．(2011·高考山东卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()1、页脚内容7A.x25－y24＝1B.