第10章--用MATLAB解决概率问题

MATLAB是一种功能强大、运算效率极高的数值计算软件。最初，它是一种专门用于矩阵运算的软件，经过多年发展，MATLAB已经成为一种功能强大的软件，几乎可以解决科学计算中的任何问题。本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等问题。第10章用Matlab解决概率问题•数据分析•离散型随机变量的概率及概率分布•连续型随机变量的概率及其分布•数字特征•二维随机向量的数字特征•统计直方图•参数估计•假设检验•方差分析与回归分析10.2、离散型随机变量的概率及概率分布(1)分布律二项分布的概率值格式binopdf(k,n,p)说明n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概率；k:事件A发生k次。泊松分布的概率值格式poisspdf(k,lambda)说明k:事件A发生k次;lambda:参数超几何分布的概率值格式hygpdf(K,N,M,n)说明K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n:抽取总数.(2)累积概率值(随机变量XK的概率之和)二项分布的累积概率值格式binocdf(k,n,p)说明n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概率；k:事件A发生k次。泊松分布的累积概率值格式poisscdf(k,lambda)说明k:事件A发生k次;lambda:参数超几何分布的累积概率值格式hygcdf(K,N,M,n)说明K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n:抽取总数.应用举例•例1某机床出次品的概率为0.01,求生产1000件产品中：（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率。解：此问可看作是1000次独立重复试验，每次试验出次品的概率为0.01，恰有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入：p=binopdf(1,1000,0.01)显示结果为：p=0.3681（2）至少有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入：p=1-binocdf(1,1000,0.01)显示结果为：p=0.6323•例2自1875年到1955年中的某63年间，某城市夏季（5-9月间）共发生暴雨160次，试求在一个夏季中发生k次（k=0,1,2,…,8）暴雨的概率（设每次暴雨以1天计算）。解：一年夏天共有天数为n=31+30+31+31+30=153故可知夏天每天发生暴雨的概率约为很小，n=153较大，可用泊松分布近似。Pk15363180P应用举例10.3连续型随机变量的概率及其分布•(1)概率密度函数值利用专用函数计算概率密度函数值，如下表。分布调用函数均匀分布unifpdf(x,a,b)指数分布exppdf(x,lambda)正态分布normpdf(x,mu,sigma)分布chi2pdf(x,n)T分布tpdf(x,n)F分布fpdf(x,n1,n2)2应用举例•例5计算正态分布N（0，1）下的在点0.6633的值。•在Matlab命令窗口键入：normpdf(0.6633,0,1)•回车后显示结果为：•ans=0.3202举例应用•例6绘制卡方分布密度函数在n分别等于5，5，20时的图形•程序：x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x,5);plot(x,y1,':')holdon%保留当前图形y2=chi2pdf(x,15);plot(x,y2,'+')y3=chi2pdf(x,20);plot(x,y3,'o')axis([0,30,0,0.2])%控制图形在坐标轴上的范围xlabel(‘图2-1’)%给轴标注“图2-1”结果为下图05101520253000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2图2-1(2)分布函数•利用专用函数计算累积概率函数值，即常用专用函数如下表。xdttpxXPxF分布调用函数均匀分布unifcdf(x,a,b)指数分布expcdf(x,lambda)正态分布normcdf(x,mu,sigma)卡方分布chi2cdf(x,n)T分布tcdf(x,n)F分布fcdf(x,n1,n2)应用举例•例7某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来一班车。若某乘客在7：00到7：30间任何时刻到达此站是等可能的，试求他候车的时间不到5分钟的概率。•解：设乘客7点过X分钟到达此站，则X在[0，30]内服从均匀分布，当且仅当他在时间间隔（7：10，7：15）或（7：25，7：30）内到达车站时，候车时间不到5分钟。故其概率为：P1=P{10X15}+P{25X30}•程序：formatratp1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30);p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30);p=p1+p2•则结果显示为：p=1/3应用举例•例9设随机变量X的概率密度为确定常数c;求X落在区间（-1/2，1/2）内的概率；求X的分布函数F（x）1,01,12xxcxPx•程序（1）：symscxpx=c/sqrt(1-x.^2);Fx=int(px,x,-1,1)则结果显示如下：Fx=pi*c由pi*c=1得c=1/pi•程序（2）：symsxc='1/pi';px=c/sqrt(1-x.^2);formatp1=int(px,x,-1/2,1/2)•则结果显示如下：p1=1/3•程序(3)symsxtc='1/pi';px=c/sqrt(1-t.^2);formatFx=int(px,t,-1,x)•则结果显示如下：Fx=1/2*(2*asin(x)+pi)/pi所以X的分布函数为：1,111,2)arcsin(21,0xxxxxF逆累积概率值已知，求x。x为临界值，常用临界值如表xXPxF)(调用函数注释X=unifinv(p,a,b)[a,b]上均匀分布逆累积分布函数X=expinv(p,mu)指数逆累积分布函数X=norminv(p,mu,sigma)正态逆累积分布函数X=chi2inv(p,n)卡方逆累积分布函数X=tinv(p,n)T分布逆累积分布函数X=finv(p,n1,n2)F分布逆累积分布函数应用举例•例13公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过2%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（168，7），求车门的最低高度。•解：设h为车门高度，X为身高，求满足条件由已知，P{X=x}=0.02,即P{X=x}=0.98•norminv(0.98,168,7)•ans=•182.3762•所以至少为182.4厘米应用举例•例14设二维随机变量（X，Y）的联合密度为：••求（1）P{0X1,0Y1};(2)(X,Y)落在x+y=1,x=0,y=0所围成的区域内的概率。•程序：symsxyf=exp(-x-y);P_XY=int(int(f,y,0,1),x,0,1)P_G=int(int(f,y,0,1-x),x,0,1)•运行结果显示如下：P_XY=exp(-2)-2*exp(-1)+1P_G=-2*exp(-1)+1其它,00,0,),(yxyxpeyx10.4数字特征(1)数学期望•离散型随机变量X的期望计算–求和函数：sum(X)说明：若X为向量，则sum（X）为X中的各元素之和，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列元素之和，返回一个行向量。–求均值函数：mean(X)说明：若X为向量，则sum（X）为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量•例16随机抽取6个滚珠测得直径（mm）如下：11.7012.2111.9011.9112.3212.32试求样本平均值。•程序：X=[11.7012.2111.9011.9112.3212.32];mean(X)•则结果显示如下：ans=12.0600应用举例连续型随机变量的期望•应用举例•例17已知随机变量X的概率求EX和E(4X-1)。23,01()0,xxPx其它•程序：•解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0817.m：•symsx•p_x=3*x^2;•EX=int(x*p_x,0,1)•EY=int((4*x-1)*p_x,0,1)•运行结果为：•EX=•3/4•EY=2(2)方差•离散型随机变量的方差及样本方差•方差设X的分布律为由则方差DX=sum(X.^2*P)-(EX).^2•标准差：,...2.1,kPxXPkkDXsqrtDXX)()(])[()(222XEXEEXXEXD应用举例•例19设随机变量X的分布律为：X-2-1012P0．30．10．20．10．3求D（X），D（X^2-1）。程序：X=[-2-1012];p=[0.30.10.20.10.3];EX=sum(X.*p)Y=X.^2-1EY=sum(Y.*p)DX=sum(X.^2.*p)-EX.^2DY=sum(Y.^2.*p)-EY.^2运行后结果显示如下：EX=0Y=30-103EY=1.6000DX=2.6000DY=3.0400•连续型随机变量的方差利用求解。•例21设X的概率密度为：求DX，D（2X+1）解：dxxpxXEdxxxpXE)()(22其它,01,11)(2xxPx)()(])[()(222XEXEEXXEXD)()()(22XEXEXD•程序：symsxpx=1./(pi*sqrt(1-x.^2));EX=int(x*px,-1,1)Dx=int(x.^2.*px,-1,1)y=2*x+1;EY=int(y.*px,-1,1)DY=int(y.^2.*px,-1,1)-EY.^2•运行结果显示如下：EX=0DX=1/2EY=1DY=2（3）常用分布的期望与方差求法•在统计工具箱中，用’stat’结尾的函数可以计算给定参数的某种分布的均值和方差。调用函数参数说明注释[M，V]=binostat(N,p)N：试验总次数P:二项分布的概率二项分布的期望和方差[M,V]=poisstat(Lambda)Lambda:泊松分布的参数泊松分布的期望和方差[M，V]=hygestat(M,K,N)M,K,N:超几何分布的参数超几何分布期望和方差[M,V]=unifstat(a,b)a,b:均匀分布区间端点均匀分布的期望和方差[M,V]=normstat(mu,sigma)Mu:正态分布的均值Sigma：标准差正态分布的期望和方差调用函数参数说明注释[M,V]=tstat(nu)nu:T分布的参数T分布的期望和方差[M,V]=chi2stat(nu)nu:卡方分布的参数卡方分布的期望和方差[M,V]=fstat(n1,n2)n1,n2:F分布2个自由度F分布的期望和方差[M,V]=geostat(p)p:几何分布的概率参数几何分布的期望和方差[M,V]=expstat(mu)mu:指数分布的参数指数分布的期望和方差应用举例•例24求参数为6的泊松分布的期望和方差。•程序：[M,V]=poisstat(6)•则结果显示如下：M=6V=610.5二维随机变量的数字特征•(1)期望根据二维随机变量期望的定义构造函数计算。下面分别就离散和连续的情况举例说明。应用举例•例4.1设（X，Y）的联合分布为•Z=X-Y，求EZ。XY-112-15/202/206/2023/203/201/20•程序：X=[-12];Y=[-112];fori=1:2forj=1:3Z(i,j)=X(i)-Y(j);endendP=[5/202/206/20;3/203/201/20];EZ=sum(