异步电动机数学模型

6.1异步电动机动态数学模型的性质电磁耦合是机电能量转换的必要条件，电流与磁通的乘积产生转矩，转速与磁通的乘积得到感应电动势。无论是直流电动机，还是交流电动机均如此。交、直流电动机结构和工作原理的不同，其表达式差异很大。6.1异步电动机动态数学模型的性质异步电动机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。（1）异步电动机变压变频调速时需要进行电压（或电流）和频率的协调控制，有电压（或电流）和频率两种独立的输入变量。在输出变量中，除转速外，磁通也是一个输出变量。6.1异步电动机动态数学模型的性质（2）异步电动机无法单独对磁通进行控制，电流乘磁通产生转矩，转速乘磁通产生感应电动势，在数学模型中含有两个变量的乘积项。（3）三相异步电动机三相绕组存在交叉耦合，每个绕组都有各自的电磁惯性，再考虑运动系统的机电惯性，转速与转角的积分关系等，动态模型是一个高阶系统。6.2异步电动机的三相数学模型作如下的假设：（1）忽略空间谐波，三相绕组对称，产生的磁动势沿气隙按正弦规律分布。（2）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的。（3）忽略铁心损耗。（4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。6.2异步电动机的三相数学模型无论异步电动机转子是绕线型还是笼型的，都可以等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数相等。异步电动机三相绕组可以是Y连接，也可以是Δ连接。若三相绕组为Δ连接，可先用Δ—Y变换，等效为Y连接。然后，按Y连接进行分析和设计。6.2异步电动机的三相数学模型图6-1三相异步电动机的物理模型定子三相绕组轴线A、B、C在空间是固定的。转子绕组轴线a、b、c随转子旋转。6.2.1异步电动机三相动态模型的数学表达式异步电动机的动态模型由磁链方程、电压方程、转矩方程和运动方程组成。磁链方程和转矩方程为代数方程电压方程和运动方程为微分方程磁链方程异步电动机每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和AAAABACAaAbAcABBABBBCBaBbBcBCCACBCCCaCbCcCaaAaBaCaaabacabbAbBbCbabbbcbccAcBcCcacbcccLLLLLLiLLLLLLiLLLLLLiLLLLLLiLLLLLLiLLLLLLi自感或写成Liψ定子各相自感AABBCCmslsLLLLL转子各相自感aabbccmslrLLLLL互感绕组之间的互感又分为两类①定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，故互感为常值；②定子任一相与转子任一相之间的相对位置是变化的，互感是角位移的函数。定子三相间或转子三相间互感三相绕组轴线彼此在空间的相位差互感23221coscos()332msmsmsLLL1212ABBCCABACBACmsabbccabacbacmsLLLLLLLLLLLLLL定子三相间或转子三相间互感定、转子绕组间的互感由于相互间位置的变化可分别表示为当定、转子两相绕组轴线重合时，两者之间的互感值最大cos2cos()32cos()3AaaABbbBCccCmsAbbABccBCaaCmsAccABaaBCbbCmsLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLmsL磁链方程磁链方程，用分块矩阵表示sssrssrsrrrrLLψiLLψiTCBAsψTcbarψTCBAsiiiiTcbariiii式中电感矩阵定子电感矩阵lsmsmsmsmslsmsmsmsmslsmsssLLLLLLLLLLLL212121212121L112211221122mslrmsmsrrmsmslrmsmsmsmslrLLLLLLLLLLLLL转子电感矩阵电感矩阵定、转子互感矩阵变参数、非线性、时变22coscos()cos()3322cos()coscos()3322cos()cos()cos33TrssrmsLLL电压方程三相绕组电压平衡方程AAAsBBBsCCCsduiRdtduiRdtduiRdtaaarbbbrcccrduiRdtduiRdtduiRdt电压方程将电压方程写成矩阵形式dψuRidtcbaCBAcbaCBArrrssscbaCBAdtdiiiiiiRRRRRRuuuuuu000000000000000000000000000000电压方程把磁链方程代入电压方程，展开iLiLRiiLiLRiLiRiudddtddtddtddtd)(电压方程电流变化引起的脉变电动势，或称变压器电动势定、转子相对位置变化产生的与转速成正比的旋转电动势dtdiLiLdd转矩方程和运动方程转矩方程运动方程)120sin()()120sin()(sin)(bCaBcAaCcBbAcCbBaAmspeiiiiiiiiiiiiiiiiiiLnTLepTTdtdnJdtd转角方程6.2.2异步电动机三相原始模型的性质非线性强耦合性非线性耦合体现在电压方程、磁链方程与转矩方程。既存在定子和转子间的耦合，也存在三相绕组间的交叉耦合。非线性变参数旋转电动势和电磁转矩中都包含变量之间的乘积，这是非线性的基本因素。定转子间的相对运动，导致其夹角不断变化，使得互感矩阵为非线性变参数矩阵。异步电动机三相原始模型的非独立性异步电动机三相绕组为Y无中线连接，若为Δ连接，可等效为Y连接。可以证明：异步电动机三相数学模型中存在一定的约束条件000ABCABCABCiiiuuu000abcabcabciiiuuu异步电动机三相原始模型的非独立性三相变量中只有两相是独立的，因此三相原始数学模型并不是物理对象最简洁的描述。完全可以而且也有必要用两相模型代替。6.3坐标变换异步电动机三相原始动态模型相当复杂，简化的基本方法就是坐标变换。异步电动机数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵和转矩方程，它们体现了异步电动机的电磁耦合和能量转换的复杂关系。要简化数学模型，须从电磁耦合关系入手。6.3.1坐标变换的基本思路两极直流电动机的物理模型，F为励磁绕组，A为电枢绕组，C为补偿绕组。F和C都在定子上，A在转子上。图6-2二极直流电动机的物理模型F—励磁绕组A—电枢绕组C—补偿绕组6.3.1坐标变换的基本思路把F的轴线称作直轴或d轴，主磁通的方向就是沿着d轴的；A和C的轴线则称为交轴或q轴。虽然电枢本身是旋转的，但由于换向器和电刷的作用，闭合的电枢绕组分成两条支路。电刷两侧每条支路中导线的电流方向总是相同的。6.3.1坐标变换的基本思路当电刷位于磁极的中性线上时，电枢磁动势的轴线始终被电刷限定在q轴位置上，其效果好象一个在q轴上静止的绕组一样。但它实际上是旋转的，会切割d轴的磁通而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组不同。把这种等效的静止绕组称作“伪静止绕组”。6.3.1坐标变换的基本思路电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁动势抵消，或者由于其作用方向与d轴垂直而对主磁通影响甚微。所以直流电动机的主磁通基本上由励磁绕组的励磁电流决定，这是直流电动机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。6.3.1坐标变换的基本思路如果能将交流电动机的物理模型等效地变换成类似直流电动机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。不同坐标系中电动机模型等效的原则是：在不同坐标下绕组所产生的合成磁动势相等。6.3.1坐标变换的基本思路在交流电动机三相对称的静止绕组A、B、C中，通以三相平衡的正弦电流，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速（即电流的角频率）顺着A-B-C的相序旋转。任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。6.3.1坐标变换的基本思路三相变量中只有两相为独立变量，完全可以也应该消去一相。所以，三相绕组可以用相互独立的两相正交对称绕组等效代替，等效的原则是产生的磁动势相等。6.3.1坐标变换的基本思路所谓独立是指两相绕组间无约束条件所谓对称是指两相绕组的匝数和阻值相等所谓正交是指两相绕组在空间互差6.3.1坐标变换的基本思路图6-3三相坐标系和两相坐标系物理模型6.3.1坐标变换的基本思路两相绕组，通以两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势。当三相绕组和两相绕组产生的旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为两相绕组与三相绕组等效，这就是3/2变换。6.3.1坐标变换的基本思路两个匝数相等相互正交的绕组d、q，分别通以直流电流，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果人为地让包含两个绕组在内的铁心以同步转速旋转，磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。如果旋转磁动势的大小和转速与固定的交流绕组产生的旋转磁动势相等，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。6.3.1坐标变换的基本思路当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，d和q是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的空间位置在d轴上，就和直流电动机物理模型没有本质上的区别了。绕组d相当于励磁绕组，q相当于伪静止的电枢绕组。6.3.1坐标变换的基本思路图6-4静止两相正交坐标系和旋转正交坐标系的物理模型6.3.2三相-两相变换（3/2变换）三相绕组A、B、C和两相绕组之间的变换，称作三相坐标系和两相正交坐标系间的变换，简称3/2变换。ABC和两个坐标系中的磁动势矢量，将两个坐标系原点重合，并使A轴和轴重合。三相-两相变换（3/2变换）按照磁动势相等的等效原则，三相合成磁动势与两相合成磁动势相等，故两套绕组磁动势在αβ轴上的投影应相等。23333233311coscos()33223sinsin()332ABCABCBCBCNiNiNiNiNiiiNiNiNiNii三相-两相变换（3/2变换）图6-5三相坐标系和两相正交坐标系中的磁动势矢量233332333coscos3311()22sinsin333()2ABCABCBCBCNiNiNiNiNiiiNiNiNiNii三相-两相变换（3/2变换）写成矩阵形式CBAiiiNNii232302121123按照变换前后总功率不变，匝数比为3223NN三相-两相变换（3/2变换）三相坐标系变换到两相正交坐标系的变换矩阵3/2111222333022C三相-两相变换（3/2变换）两相正交坐标系变换到三相坐标系（简称2/3变换）的变换矩阵2321232101323/2C三相-两相变换（3/2变换）考虑到0CBAiii也可以写作BAiiii221023iiiiBA2161032电压变换阵和磁链变换阵与电流变