全等三角形与旋转问题

1全等三角形与旋转问题1、如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。A．1对B．2对C．3对D．4对KGFEDCBA2、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．MDNECBFA∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM3、如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC于M，N点．求证：CMCN．NMEDCBA∵ABC与DCE都是等边三角形∴BCAC，CDCE及60ACBDCE∵B，C，E三点共线∴180BCDDCE，180BCAACE∴120BCDACE在BCD与ACE中BCACBCDACEDCEC∴BCDACE≌，∴CANCBM∵120BCDACE，60BCMNCE∴60ACD在BCM与ACN中260BCACBCMACNCBMCAN∴BCMACN≌，∴CMCN．4、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：CF平分AFB．MDNECBFAGMHDNECBFA过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACNMCB≌，利用AAS进而再证BCHNCD≌，可得到CGCH，故CF平分AFB．如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．请你证明：⑴ANBM；⑵DEAB∥；⑶CF平分AFB．MDNECBFA此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：AFCBFC；ANBM，CDCE，ADME，NDBE；AMCN∥，CMBN∥；DEAB∥ACNMCB≌，ADCMCE≌，NDCBEC≌；DEC为等边三角形．⑴∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM⑵由ACNMCB≌易推得NDCBEC≌，所以CDCE，又60MCN，进而可得DEC为等边三角形．易得DEAB∥．⑶过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACNMCB≌，利用AAS进而再证BCHNCD≌，可得AFCBFC，故CF平分AFB．35、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG．GFEDCBA∵ADCEDG∴CDGADE在CDG和ADE中CDADCDGADEDGDE∴CDGADE≌∴AECG6、如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE是等边三角形．MDNECBA∵ACNMCB≌，∴ANBM，ABMANC又∵D、E分别是AN、BM的中点，∴BCENCD≌，∴CECD，BCENCD∴60DCENCDNCEBCENCENCB∴CDE是等边三角形7、如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(120ACE°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是_____________。PMBCDEAA．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8、如图，等边49、三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．DECBA∵ABC是等边三角形，∴60ACB，ACBC．∴60BCDDCA，同理60ACEDCA，DCEC．∴BCDACE在BCD与ACE中，BCACBCDACEDCEC∴BCDACE≌，∴BDAE．9、如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDCBAABCDP连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACDBCD≌(SSS)，得1302BCDACDACB，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知BDPBDC≌(SAS)，∴30BPDBCD．故BPD的度数是定值．10、如图，等腰直角三角形ABC中，90B∠，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．OBECFA连结OB由上可知，1290∠，2390∠，13，而445C∠，OBOC．∴OBEOCF≌，∴BEFC，∴BEBFCFBFBCa．如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．554321OHBEDKGCFA正方形ABCD中，1245∠，OAOB而3490∠，4590∠∴35∠∠，∴AOEBOF≌∴AEBF，∴AEFCBFFCBCAB11、如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF．求证：DEBF．FEDCBA证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，90BADADEABF．因为EAAF，所以90BAFBAEBAEDAE，所以BAFDAE，故RtABF≌RtADE，故DEBF．如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长_____________。PDCBAABCDEP、如图，过点D作DEDP，延长BC交DE于点E，容易证得ADPCDE≌(实际上就是把ADP逆时针旋转90，得到正方形DPBE)∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴4DP．612、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．CHFEDBACHFEGDBA延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证ABGADF△≌△，BAGDAF∠∠，AGAF．再证AEGAEF△≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．13、在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是_____________。A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而变化MNCBAMDNCBA如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN∠∠，∴MCDACMACD∠∠∠ACMBCN∠904545MCN．∴MDCMNC≌，∴MDMNx又易得454590DAM，∴在RtAMD中，有222mnx，故应选(B)如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．⑴求证：AFDFBE．⑵设DFx(01x≤≤)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．FEDCBAGABCDEF⑴证明：如图，延长CB至点G，使得BGDF，连结AG．因为ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，ADAB，90ADFABG°，DFBG．∴RtRt(SAS)ADFABG≌，∴AFAG，DAFBAG．又∵AE是BAF的平分线．∴EAFBAE，∴DAFEAFBAGBAE．7即EADGAE．∵ADBC∥，∴GEAEAD，∴GEAGAE，∴AGGE．即AGBGBE．∴AFBGBE，得证．⑵ADFABESSS1122DFADBEAB．∵1ADAB，∴12SDFBE由⑴知，AFDFBE，所以12SAF．在RtADF中，1AD，DFx，∴21AFx，∴2112Sx．由上式可知，当2x达到最大值时，S最大．而01x≤≤，所以，当1x时，S最大值为2111222x．14、请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2ABCDE⑴222DEBDEC证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE∴AECABE≌∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB在RtABC中∵ABAC∴45ABCACB∴90ABCABE即90EBD∴222EBBDED又∵45DAE∴45BADEAC8∴45EABBAD即45EAD∴AEDAED≌∴DEDE∴222DEBDECE'EDCBAFEDCBA⑵关系式222DEBDEC仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE∴AFDABD≌∴AFAB，FDDBFADBAD，AFDABD又∵ABAC，∴AFAC∵45FAEFADDAEFAD9045EACBACBAEDAEDABDAB∴FAEEAC又∵AEAE∴AFEACE≌∴FEEC，45AFEACE180135AFDABDABC∴1354590DFEAFDAFE∴在RtDFE中222DFFEDE即222DEBDEC15、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长_____________。NMDCBANMEDCBA如图所示，延长AC到E使CEBM．在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE≌，故MDED．因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC．又因为BDMCDE，所以60MDNEDN．在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND≌，则NEMN，所以AMN的周长为2．916、在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系_____________。⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时QL=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DNDM时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若A