八年级数学上分式知识点和典型例习题

第十五章分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,,,21,22，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3||6xx（5）xx11题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx（2）42||2xx（3）653222xxxx题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）3||61x（2）1)1(32xx（3）x1112．当x为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5xx（2）562522xxx3．解下列不等式（1）012||xx（2）03252xxx（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MBMAMBMABA2．分式的变号法则：babababa题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx41313221（2）baba04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yxyx（2）baa（3）ba题型三：化简求值题【例3】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.提示：整体代入，①xyyx3，②转化出yx11.【例4】已知：21xx，求221xx的值.【例5】若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx5.008.02.003.0（2）baba10141534.02．已知：31xx，求1242xxx的值.3．已知：311ba，求aabbbaba232的值.4．若0106222bbaa，求baba532的值.5．如果21x，试化简xx2|2|xxxx|||1|1.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）cbacababc225,3,2；（2）abbbaa22,；（3）22,21,1222xxxxxxx；（4）aa21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xyyx；（3）nmmn22；（3）6222xxxx.题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abcabccba；（2）22233)()()3(xyxyyxyxa；（3）mnmnmnmnnm22；（4）112aaa；（5）874321814121111xxxxxxxx；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1xxxxxx；（7）)12()21444(222xxxxxxx题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1x，求分子)]121()144[(48122xxxx的值；（2）已知：432zyx，求22232zyxxzyzxy的值；（3）已知：0132aa，试求)1)(1(22aaaa的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312xNxMxx，试求NM,的值.练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252aaaaaa；（2）ababbbaa222；（3）baccbacbcbacbacba232；（4）babba22；（5）)4)(4(baabbabaabba；（6）2121111xxx；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1xxxxxx.2．先化简后求值（1）1112421222aaaaaa，其中a满足02aa.（2）已知3:2:yx，求2322])()[()(yxxyxyxxyyx的值.3．已知：121)12)(1(45xBxAxxx，试求A、B的值.4．当a为何整数时，代数式2805399aa的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(bca（2）2322123)5()3(zxyzyx（3）24253])()()()([babababa（4）6223)(])()[(yxyxyx题型二：化简求值题【例2】已知51xx，求（1）22xx的值；（2）求44xx的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(；（2）3223)102()104(.练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(（2）322231)()3(nmnm（3）23232222)()3()()2(abbabaab（4）21222)]()(2[])()(4[yxyxyxyx2．已知0152xx，求（1）1xx，（2）22xx的值.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）xx311；（2）0132xx；（3）114112xxx；（4）xxxx4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441xxxx；（2）569108967xxxxxxxx提示：（1）换元法，设yxx1；（2）裂项法，61167xxx.【例3】解下列方程组)3(4111)2(3111)1(2111xzzyyx题型三：求待定字母的值【例4】若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值.【例5】若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.提示：032ax且2x，2a且4a.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x的方程)0(dcdcxbax提示：（1）dcba,,,是已知数；（2）0dc.题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211xxxx；（2）3423xxx；（3）22322xxx；（4）171372222xxxxxx（5）2123524245xxxx（6）41215111xxxx（7）6811792xxxxxxxx2．解关于x的方程：（1）bxa211)2(ab；（2）)(11baxbbxaa.3．如果解关于x的方程222xxxk会产生增根，求k的值.4．当k为何值时，关于x的方程1)2)(1(23xxkxx的解为非负数.5．已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231xx二、化归法例2．解方程：012112xx三、左边通分法例3：解方程：87178xxx四、分子对等法例4．解方程：)(11baxbbxaa五、观察比较法例5．解方程：417425254xxxx六、分离常数法例6．解方程：87329821xxxxxxxx七、分组通分法例7．解方程：41315121xxxx（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmxx221无解，求m的值。例2．若关于x的方程11122xxxkxx不会产生增根，求k的值。例3．若关于x分式方程432212xxkx有增根，求k的值。例4．若关于x的方程1151221xkxxkxx有增根1x，求k的值。