角动量及其守恒

力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.ipjp0,0p一.质点的角动量和刚体的角动量22kvvmEmp质点运动状态的描述力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.22kJEJL刚体定轴转动运动状态的描述0,0pvmrprL质点在垂直于z轴平面上以角速度作半径为的圆运动.rsinvrmL大小的方向符合右手法则Lrzvmo901.质点角动量A质点角动量（相对圆心）vmrLz2mrrmLv（圆运动）2.刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2vOirimivJLz在国际单位制中，角动量的单位为12smkg对于绕固定轴oz转动的整个刚体而言,角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可用代数量来描述。二.角动量定理（动量矩定理）dtdJMdtJddtdLdLJdMdt微分形式：00JJMdttt积分形式：00LLMdttt或J可变角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.在定轴转动中,内力矩不改变系统的角动量.守恒条件0M若不变，不变；若变，也变，但不变。JJLJ讨论exinMM在冲击等问题中L常量三.刚体定轴转动的角动量守恒定律若，则.0M常量JL有许多现象都可以用角动量守恒来说明.它是自然界的普遍适用的规律.花样滑冰跳水运动员跳水飞轮12航天器调姿1.哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是,速率；它离太阳最远时的速率，这时它离太阳的距离m1075.810近日r1-4sm1046.5近日v1-2sm1008.9远日v？远日r远日v近日v近日r远日r例题分析解彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒.于是有远日远日近日近日vrvr远日远日近日近日，因为vrvr远日近日近日远日所以vvrrm1026.512远日r代入数据可,得解:系统角动量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ2.两个转动惯量分别为J1和J2的圆盘A和B。A是机器上的飞轮,B是用以改变飞轮转速的离合器圆盘。开始时,他们分别以角速度ω1和ω2绕水平轴转动。然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下。啮合为一体,其角速度为ω,求齿轮啮合后两圆盘的角速度？3.两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱质量、半径分别为M1、M2和R1、R2，开始时各自的角速度分别为1、2，现将它们缓慢移近使之接触。求两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。两个圆柱体并不是绕同一固定轴在转动,虽然外力矩为零,但角动量不守恒,用角动量定理解最后两个圆柱体接触点的线速度相等2211RR)(JtfRt11101d)(JtfRt22202d211121RMJ222221RMJ)(2112221111MMRRMRM)(2121112222MMRRMRM4.如图所示,质量为M的均匀细棒,长为L,可绕过端点O的水平光滑轴在竖直面内转动,当棒竖直静止下垂时,有一质量为m的小球飞来,垂直击中棒的中点.由于碰撞,小球碰后以初速度为零自由下落,而细棒碰撞后的最大偏角为,求小球击中细棒前的速度值.解：设小球碰撞前速度为v2312MLLmv)cos1(2312122LMgML3)cos1(2LgmMv碰撞时,M和m为系统,角动量守恒mvML碰撞后,M和地为系统,机械能守恒5.如图所示，一个长为l、质量为M的匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m、速率为v的子弹以与水平方向成角的方向射入杆内距支点为a处，使杆的偏转角为.问子弹的初速率为多少？060030解把子弹和匀质杆作为一个系统,分析可知在碰撞过程中角动量守恒.设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为,则030060lav2203160cosmaMlavm子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有0022230cos1230cos13121lMgmgamaMl联立上述这两个方程得子弹的初速率为22326322maMlmaMlgmav6.如图所示，一根质量为M、长为2l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置.今有一质量为m的小球，以速度垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞.试求碰撞后小球的回跳速度及棒绕轴转动的角速度.uvoMllum解分析可知,以棒和小球组成的系统的角动量守恒.由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量;lmu由于碰撞后小球以速度v回跳，棒获得的角速度为，所以碰撞后系统的角动量为231Mllmv由角动量守恒定律得231Mllmvlmu由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即222231212121Mlmvmu联立以上两式，可得小球的速度为uMmMmv33棒的角速度为luMmm360v要保证小球回跳，则必须保证.mM3讨论:7.一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴在竖直平面内无摩擦地转动。棒在水平位置时释放，当它落到竖直位置时与放在地面上一静止的物体相撞。该物体的质量也为m，与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止,求碰撞后杆的转动动能。解:分为三个阶段1)棒自由摆落,机械能守恒2223121212mlJlmg2)碰撞瞬间,内力矩》外力矩,角动量守恒223131mlmvlml3)物体在碰撞后的滑行mamgasv202联立得62332122gsglmJE质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动速度加速度trddvtvdda角速度角加速度tddtdd质量m转动惯量动量角动量mrJd2JLvmP力力矩FM质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律amF转动定律JM质点的平动刚体的定轴转动动量定理00dvvmmtFtt角动量定理00dLLtMtt动量守恒定律角动量守恒定律恒量iiimFv,0恒量iiJM,0力的功barFWd力矩的功0dMW动能2/2kvmE转动动能2/2kJE质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动刚体的定轴转动动能定理2022121vvmmW动能定理2022121JJW重力势能mghEp重力势能CpmghE机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时vovo'ompTR圆锥摆子弹击入杆ov以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.讨论子弹击入沙袋细绳质量不计一人握有两只哑铃,站在一可无摩擦地转动的水平平台上,开始时两手平握哑铃,人、哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转,后来此人将哑铃下垂于身体两侧,在此过程中,系统(A)角动量守恒,机械能不守恒;(B)角动量守恒,机械能守恒;(C)角动量不守恒,机械能守恒;(D)角动量不守恒,机械能不守恒.练习关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量;（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;（3）质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,他们的角加速度一定相等;在上述说法中(A)只有（2）是正确的;(B)（1）、（2）是正确的;(C)（2）、（3）是正确的;(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.练习(A)动量不守恒,动能守恒;(B)动量守恒,动能不守恒;(C)角动量守恒,动能不守恒;(D)角动量不守恒,动能守恒.人造地球卫星,绕地球作椭圆轨道运动,地球在椭圆的一个焦点上,则卫星的：练习一滑冰者开始转动时，然后将手臂收回，使转动惯量减少为原来的1/3，求此时的转动角速度.2200k0JE00031JJ注意：刚体定轴转动内力矩的功之和为零，非刚体不一定.200200k200k023932121JJEJE解：外力矩为零，角动量守恒内力做功，转动动能变化03练习把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与单摆的摆锤质量均为m.开始时直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度，令它自静止状态下摆，于垂直位置和直杆作弹性碰撞.求碰后直杆下端达到的高度h.0hhhmlc解：此问题分为三个阶段0hllmm0v002ghv1）单摆自由下摆（机械能守恒），与杆碰前速度练习2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）角动量守恒vvmlJml0动能不变2220212121Jmmvv021vvl230v3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc