高一数学期中复习

常州市第五中学陈洪平集合结构图集合集合含义与表示集合间关系集合基本运算{}211-，，=M2.已知集合集合则M∩N是(){}421，，AB{1}C{1，2}DΦ{}，，MxxyyN==2练习1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝。3.满足{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的个数有个-1B3设集合A={x|－1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠Φ，则a的取值范围是A，a＜2B，a＞－2C，a＞－1D，－1＜a≤2－12ABBB由图看出a＞－1思考：1、改A=[－1，2)2、改A={x|x2－x－2≤0}3、改A={x|≤0}21xx4、改A∩B=Φ5、改A∩B=A6、改B={x|1＜x＜a}a≤－1a≥2－12AB1a当a≤1时B=Φ，不满足题意当a＞1时，B=(1,a)，满足题意故a1已知集合A={a|二次方程x2－2x+a=0有实根，a∈R}，B={a|二次方程ax2－x+2=0无实根，a∈R}，求A∩B，A∪B。解：由x2－2x+a=0有实根∴△≥0即4－4a≥0a≤1∴A=(－∞,1]由ax2－x+2=0无实根∴△＜0即1－8a＜081a),81(=B811A∪B=R故A∩B=]1,81(函数概念及性质结构图函数概念及性质函数概念与表示单调性与最值奇偶性1、已知函数f(x)=x+2,(x≤－1)x2,(－1＜x＜2)2x,(x≥2)若f(x)=3,则x的值是()A.1B.1或32C.1,,332D.3D020m2040m4060m6080m80100m信函质量(m)/g邮资(M)/元0.801.602.403.204.002、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如下表:请画出图像,并写出函数的解析式.问题探究解邮资是信函质量的函数,其图像如下:m/g20M/元4060801000.81.62.43.24.0。。。。。O函数解析式为0.8,0m≤201.60,20m≤40f(x)=2.40,40m≤603.20,60m≤804.00,80m≤100,,21xx在给定区间上任取21xx)f(x)f(x21函数f(x)在给定区间上为增函数。Oxy)x(fy=如何用x与f(x)来描述上升的图象？)x(f11x如何用x与f(x)来描述下降的图象？,,21xx在给定区间上任取21xx函数f(x)在给定区间上为减函数。)f(x)f(x21)x(f1)x(f2)x(fy=Oxy1x2x)x(f22x.,,.5增函数减函数增函数增函数增函数增函数在公共区间内==.记住下列重要结论.)()(.1增减性相反与xfxf12.(),().()fxfxfx恒为正或恒为负时函数与增减性相反.)()(.3增减性相同与函数kxfxf.)()(,0,)()(,0.4增减性相反与时的增减性相同与当xkfxfkxkfxfk证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf==212111)()(xxxfxf=2112xxxx=0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数=xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。Oxy11解：函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.下面给予证明：设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2))(()1()1()()(21212221222121xxxxxxxxxfxf===0),0(,2121xxxx02121xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.例2：证明函数f(x)=x2+1在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并给予证明。,12()4fxxax=若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.2()4fxxax=2ax=12ax=2aoxy1xy1o练习已知函数y=|x2－x|，(1)作出函数的草图；(2)写出函数的单调区间。=41)21(41)21(22xx1010xxx或=xxxxy220022xxxxxyo121由图知：此函数的单调递增区间为),1[],21,0[单调递减区间为]1,21[],0,(|1|4()____.5xy=函数的单调区间是|1|4()1,5,1xy=的单调递减为区间单调递增区间为154,,1,1,|1||,1|:==又内单调递增在内单调递减在作图可知设解xuxuy1O1x解设:xxu22=uy=21则：对任意的211xx有21uu又∵是减函数uy=2121yy∴在是减函数xxy2221=),1[同理在是增函数xxy2221=]1,(函数的单调区间，并证明.xxy2221=设函数f(x)在(－∞，0)∪(0,+∞)上是奇函数，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，并且f(x)＜0，指出F(x)=在(－∞，0)上的增减性？并证明。)(1xf解：设－∞＜x1＜x2＜0则0＜－x2＜－x1＜+∞∵f(x)在(0,+∞)上是减函数∴f(－x1)＜f(－x2)又∵f(x)在(－∞，0)∪(0,+∞)上是奇函数∴－f(x1)＜－f(x2))()(21xfxf又F(x1)－F(x2))(1)(121xfxf=)()()()(2112xfxfxfxf=∵f(x)在(0,+∞)上有f(x)＜0且－∞＜x1＜x2＜0∴f(x1)=－f(－x1)＞0，f(x2)=－f(－x2)＞0又∵f(x1)＞f(x2)∴F(x1)－F(x2)＜0即F(x1)＜F(x2)故F(x)在(－∞，0)上是增函数xy1=22=xy关于原点对称关于y轴对称奇函数偶函数OO函数奇偶性的定义：如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有：（1）f（－x）=－f（x），则称y=f（x）为奇函数（2）f（－x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数注：1、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。判断下列函数的奇偶性2222(1)(23)1(2)(1)11(3)lg1(4)ln(1)(5)11yxxxyxxxyxyxxyxx=====定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。注：2、定义域对称的零函数，既是奇函数也是偶函数判断下列函数的奇偶性2)4(1)1()3(1)2(11)1(00====yxyxyxxy定义域对称的非零常数函数仅是偶函数，而零函数既是奇函数又是偶函数22y=mx+(n+2)x-1[m,m-6],:___________;例函数是定义在上的偶函数则该函数的值域是已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，求当x＜0时，f(x)的解析式，并画出此函数f(x)的图象。xyo解：∵f(x)是奇函数∴f(－x)=－f(x)即f(x)=－f(－x)∵当x≥0时，f(x)=x2－2x∴当x＜0时，f(x)=－f(－x)=－[(－x)2－2(－x)]=－(x2+2x)=xxxxy2222故00xx=1)1(1)1(22xx00xx已知函数f(x)=x2+2x－3，作出下列函数的图象：1）y=f(x)2）y=f(|x|)3）y=|f(x)|xyo－31xyoxyo－31－31－1－4－1－4－1－4=4)1(4)1()222xxy00xx=4)1(4)1()322xxy1313xxx或4例、设函数2()41,,1fxxxxtt=，求()fx的最小值()gt的解析式．解：因为22()41(2)3,,1fxxxxxtt==，所以()fx的对称轴为：2x=．⑴当2[,1]tt时，21tt，即12t时，此时()(2)3gtf==；⑵当12t时，即1t时，()fx在[,1]tt上是减函数，此时2()(1)22gtfttt==；⑶当2t时，()fx在[,1]tt上是增函数，此时2()()41gtfttt==．综上所述，2222,(,1),()3,1,2,41,(2,).tttgttttt=设f(x)定义域为[0,1],则f(2x+1)的定义域为。函数f(x)为定义在R上的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)0的解集为。3-3提示：可以描绘大致图形如右1[,0]2(-3,0)∪(3,+∞)基本初等函数基本初等函数指数函数对数函数幂函数指数函数与对数函数函数y=ax(a＞0且a≠1)y=logax(a＞0且a≠1)图象a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1性质定义域定义域值域值域定点定点xy01xy011xyo1xyo在R上是增函数在R上是减函数在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数RR(0,)(0,)(1,0)(0,1)单调性相同指数函数与对数函数(1),(2),(3),(4),,,,1.xxxxyaybycydabcd====如图是指数函数的图象则与的大小关系是（）.1.cdbaDdcbaA1.cdabB1.dbaC1.B(1)(2)(3)(4)OXy指数函数与对数函数若图象C1，C2，C3，C4对应y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx,则（）A.0ab1cdB.0ba1dcC.0dc1baD.0cd1abxyC1C2C3C4o1D12()04(log)fxfx已知函数的定义域为，，则的定义域为【1/16,1）2log(24).4xyx=求函数的值域[1,0]指数函数与对数函数21139xy=求函数的定义域,21所求函数的定义域为1(0,1).xyaaa=求函数的定义域其中且指数函数与对数函数21(01).21xxyaa=求函数且的值域212:12121xxxy==解法一由2202,202121xx即120,211,0121xxx又)1,1(y:21,2(1)121xxxyyy==解法二11y)1,1(所求函数的值域为指数函数与对数函数2120.5.xxy=求函数的定义域和值域1,.4值域为.:R函数的定义域为解22)1(2122=xxx.5.0上是减函数在而Ryu=212210.50.54xxy==指数函数与对数函数221()(),.3xxfx=讨论函数的单调性并求值域.)(:Rxf的定义域为函数解上是减函数在1,,1)1(222==xxxu.)31()(在其定义域内是减函数uuf=.1,)(内为增函数在xf.)31()(在其定义域内为减函数又uuf=uufxxu)31()(,22==则令.,1)(上是减函数在xf指数函数与对数函数.3,0函数值域为31)31(2)31(02=xx1310,11)1(222=xxx又指数函数与对数函数2321().3xxy=求函数的增区间22113:32,(),,342uxxuxux==解令对的减区间23,函数的增区间为1().3uy=又函数在定义域内是减函数Xy110y=x-