含参数不等式恒成立问题的求解策略

含参数不等式恒成立问题的求解策略恒成立问题，解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题。近年来，含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，本节将高考数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。一、分离参数法如果含参数的不等式恒成立问题，其中的参数比较容易从变量中分离出来，可以把它放到不等式的一边，而另一边是变量，通过研究变量对应的函数最值，利用极端原理得到参数范围的方法叫做分离参数法。例1．已知函数2()3fxxx．当(0,)x时,不等式()1fxax恒成立,求实数a的取值范围．【能力提升】xfa恒成立等价于xfaxfa;max恒成立等价于minxfa。利用分离参数法求解不等式恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，二、根的分布法当恒成立的问题只是对部分区间恒成立时，研究这类不等式的恒成立，就需要研究它所对应的方程的根与其函数值，通过根的位置和函数值的符号，建立一个满足条件的不等式组，这种求解参数范围的方法叫做根的分布法。例3已知函数222axxxf，当,1x时，axf恒成立，求a的取值范围。【能力提升】利用根的分布法求参数的取值范围，要注意判别所对应函数的形式，常见命题中的函数有一次函数和二次函数两类，对应的题型是：（1）)0(0abaxxf对nmx,恒成立，则;0,0nfmf（2）xf2ax+bx+c0)0(a对nmx,恒成立，则分三种情形：①△=;042acb②mabx2时，;0mf③nabx2时，;0nf（3）02cbxaxxf)0(a对nmx,恒成立，则.0,0nfmf三、主参换位法对于给出了参数范围的恒成立问题，常常把参数视为主元，把主元视为已知数，即把原题视为参数的函数，从函数的角度来进行解答，这种方法叫做主参换位法。例2、对于实数m∈[21，3]，不等式xmmxx4242恒成立，求x的取值范围。【能力提升】某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。四、导数分析法利用导数分析法求解恒成立问题，主要思想是根据函数和导数的关系讨论函数的单调性，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，找到在指定区间上函数值的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端点值、函数的极值，确定参数所满足的不等式或不等式组，基本的数学思想是等价转化。例4已知函数3223()39fxxaxaxa.(1)设1a，求函数fx的极值；(2)若14a，且当1,4xa时，)('xf12a恒成立，试确定a的取值范围.五、构建函数法对于型型或xgxfxgxf含参数恒成立不等式，可以考虑通过构造函数xgxfxF，然后根据这个函数在指定区间上的性质（单调性、极值、最值、区间端点值），得到关于参数的不等式。例5、设函数22()21(0)fxtxtxtxtR，．（Ⅰ）求()fx的最小值()ht；（Ⅱ）若()2httm对(02)t，恒成立，求实数m的取值范围．