高考圆锥曲线知识点总结

1圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2=1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若∣OG∣2=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求∣OM∣·∣PQ∣的最大值；（3）椭圆C上是否存在三点D,E,G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知m=1/4,设直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。数学语言：常数2a=，轨迹是线段；常数2a，轨迹不存在；双曲线：平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。2数学语言：aMFMF221（212FFa）常数2a=，轨迹是两条射线；常数2a，轨迹不存在；常数2a=0,轨迹是21FF的中垂线。抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（注：F不在l上）当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。定义中要重视“括号”内的限制条件(1)定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是()A．421PFPFB．621PFPFC．1021PFPFD．122221PFPF（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是____二、圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。双曲线：焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。抛物线的标准方程：（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（2）已知方程22121xymm表示双曲线，求m取值范围。（3）已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()（4）抛物线y2＝mx(m≠0)的焦准距p为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．三、椭圆与双曲线的性质分析图形标准方程焦点坐标准线方程3抛物线几何性质：标准方程图象范围a、b、c关系标准方程图形定义双曲线椭圆分类平面内与两个F1，F2的距离之和等于常数（大于||F1F2）的点的轨迹平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹yx)0(12222babyax)00(12222，babyax222bac222baca是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距a，xabyba，xaxRya、b、c的意义渐近线对称性顶点离心率焦点坐标椭圆双曲线关于x轴和y轴对称，也关于原点对称关于x轴和y轴对称，也关于原点对称)0,(1aA)0,(2aA),0(1bB),0(2bB，aA)0,(1)0,(2aAaceace，cF)0,(1)0,(2cF，cF)0,(1)0,(2cF无xaby分类xyOFxyOFxyOFxyOF4（1）椭圆若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__（2）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于______（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为__（4）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(5)设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________（6）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_____（7）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______（8）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（9）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______四、点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系：1220220byaxp点在椭圆上。1220220byaxp点在椭圆内。1220220byaxp点在椭圆外。对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离范围x≥0x≤0y≥0y≤0焦点坐标F（p2，0）F（－p2，0）F（0，p2）F（0，－p2）顶点坐标O（0，0）O（0，0）O（0，0）O（0，0）离心率e＝1e＝1e＝1e＝1对称轴x轴x轴y轴y轴焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2p的几何意义抛物线的焦点到准线的距离，p越大张口就越大通径过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为2p5c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦长。公式：弦长2121lkxx221212(1)4kxxxx其中k为直线的斜率，1122(,),(,)xyxy是两交点坐标．b.求弦所在的直线方程c.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程（点差法）(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（2）直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是______（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条.（4）过双曲线2222byax＝1外一点00(,)Pxy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（6）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有__（7）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______（8）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有__条（9）对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200xxyy与抛物线C的位置关系是_______（10）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11_______（11）求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（12）直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？1、求弦长问题：：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______2、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！3、直线恒过定点问题：（1）A、B是抛物线y2＝2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：直线AB经过一个定点；（2）抛物线y2＝2px（p＞0）上有两个动点A、B及一定点M（p，2p），F为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。4、焦点三角形问题：例3图xyBOAMFxyABOMP6（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为________（2）设P是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（3）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB＝_______（4）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS．求该双曲线的标准方程。5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（p2，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则(1)y1y2＝－p2；x1x2＝p24；(2)|AB|＝x1＋x2＋p；通径=2P(3)1|AF|＋1|BF|＝2p；(4)过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切。(6)设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定