九年级数学直线与圆的位置关系(含答案)

1直线与圆的位置关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题重难点1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．课前预习切线（tangentline）几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。tangent在拉丁语中就是totouch的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。曲线切线和法线的定义P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线．例题精讲模版一直线与圆位置关系的确定设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定2相离lOdr直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交二．切线的性质及判定1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl．②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．MBOlA2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．3OOOAAAlll3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三．三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbacbaOFEDCBACBACBA设a．b．c分别为ABC△中A．B．C的对边，面积为S，则内切圆半径为srp，其中12pabc．若90C，则12rabc．【例1】（2011•成都）已知O的面积为29cm，若点O到直线l的距离为cm，则直线l与O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【难度】1星【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离π比较即可．【答案】设圆O的半径是r，则29r，∴3r，4∵点O到直线l的距离为，∵3，即：rd，∴直线l与O的位置关系是相离，故选C．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当rd时相离；当rd时相切；当rd时相交．【巩固】（2010•湘西州）如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定【难度】1星【解析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r进行比较．若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离．【答案】∵圆的半径是8cm，圆心到直线的距离也是8cm，∴直线与圆相切．故选C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．【巩固】已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交．相切．相离都有可能【难度】1星【解析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离．【答案】∵垂线段最短，∴圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交．相切．相离都有可能．故选D．【点评】判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．【巩固】ABC△中，90C，3AC，4BC．给出下列三个结论：5（1）以点C为圆心，2.3cm长为半径的圆与AB相离；（2）以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；（3）以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】2星【解析】此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CDAB于D，根据勾股定理得5AB，再根据直角三角形的面积公式，求得2.4CD．（1），即dr，直线和圆相离，正确；（2），即dr，直线和圆相切，正确；（3），dr，直线和圆相交，正确．共有3个正确．【答案】（1），dr，直线和圆相离，正确；（2），dr，直线和圆相切，正确；（3），dr，直线和圆相交，正确．故选D．【点评】此题首先根据勾股定理以及直角三角形的面积公式求得直角三角形斜边上的高．掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系时解决问题的关键．【拓展】已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是（）A．1rB．2rC．24rD．15r【解析】首先要确定所画的圆与直线的位置关系．根据题意可知，圆与直线有两种情况符合题意：当圆与直线l外离时，1r即可；当圆与直线相交时，要求5r，所以15r．【答案】根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则当圆与直线l外离时，1r；当圆与直线相交时，5r；所以15r．故选D．【点评】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．【例2】如图，在RtABC△中，90C，30B，4BCcm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则C与AB的位置关系是（）6A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【难度】2星【解析】作CDAB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．【答案】作CDAB于点D．∵30B，4BCcm，∴2CDcm，等于半径．∴AB与C相切．故选B．【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当Rd时，直线与圆相交；当Rd时，直线与圆相切；当Rd时，直线与圆相离．【巩固】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90C，且ABADBC，AB是O的直径，则直线CD与O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【难度】2星【解析】要判断直线CD与O的位置关系，只需求得AB的中点到CD的距离，根据梯形的中位线定理进行求解．根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断：若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离．【答案】作OECD于E．∵ADBC∥，90C，OECD，∴ADOEBC∥∥，7又OAOB，∴DECE．∴2ADBCOE．又ABADBC，∴2ABOE，即圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交．故选C．【点评】此题要利用梯形的中位线定理，得到圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，从而解决问题．【巩固】正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，则AD与P的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定【难度】2星【解析】根据正方形的对角线平分一组对角，以及角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AD的距离等于点P到AB的距离．所以若以P为圆心的圆与AB相切，则AD与P的位置关系是相切．【答案】∵点P到AD的距离等于点PP到AB的距离，以P为圆心的圆与AB相切，∴AD与P的位置关系是相切．故选B．【点评】综合运用了正方形的性质和角平分线的性质．【拓展】如图，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全等，点BCD，，在同一条直线上，APE的顶点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是（）A．0B．1C．2D．38【难度】3星【解析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．【答案】连接AE．AC．CE，如图在AEC△中，∵ABCCDE≌△△，∴90ACE，然后画出以AE为直径半圆，发现存在的P点实际上有两个【点评】本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．【例3】如图，点P在y轴上，P交x轴于AB，两点，连接BP并延长交P于C，过点C的直线交x轴于D，且P的半径为5，4AB．若函数kyx（0x）的图象过C点，则k的值是（）yxOPDCBAA．4B．﹣4C．25D．4【难度】3星【解析】本题的关键是求出C点的坐标，由于BC是P的直径，那么连接AC后三角形ACB就是直角三角形，已知BC，AB的长，可通过勾股定理求出AC的值，那么即可得出C点的坐标，将C的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值．【答案】连接AC，则ACAB，如图所示：9yxOPDCBA在RtABC△中，4AB，25BC，∴2AC，∵OPAB，ACAB，∴ACOP∥，∵BPPC，4AB，∴2OAOB，∴C的坐标为22，，将C的坐标代入kyx（0k）中，可得4kxy故选B．【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的方法，难度适中，主要掌握用数形结合的思想求出C点的坐标是解题的关键．【巩固】已知在直角坐标系中，以点03A，为圆心，以3为半径作A，则直线2ykx（0k）与A的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．与k值有关【解析】要判断直线2ykx（0k）与A的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析．【答案】因为直线2ykx与y轴的交点是02B，，所以1AB．则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和A一定相交．故选B．【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．【例4】如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为32，，A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切A点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）10yxPOQAA．（﹣4，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）或（﹣2，0）D．（﹣3，0）【