数字图像处理直方图处理

3.3直方图处理一、灰度直方图直方像图反映了图的像素的灰度分布是反映一幅图像中的灰度级与出现这种灰度级的像素的概率之间关系的图形。直方图的横坐标为灰度级（用r表示），纵坐标是具有该灰度级的像素个数或出现此灰度级的概率P(rk)。设N（=a×b）为一幅图像中像素总数，nk为第k级灰度的像素数；rk表示第k个灰度级。则：P(rk)=nk/N（归一化后k级灰度像素数）定义：反映各灰度级出现频数的分布情况，进而反映图像对（清晰）度，但不反映各灰度级的空间位置分布。直方图的作法a)将图像的灰度级归一化b)计算各灰度级的像素频数(或概率)c)作图10,1,,1,,0,1,,1101.kkkkkLkrkLLrLLrr若图象的灰度级为则令则为灰度级层次数，为灰度间隔()()kkkrkkrknrNnprNnkpr设为灰度级为的像素的个数，为总的像素个数，令是像素值为的像素的频数，为其出现的概率的函数图作的取值，的取值，纵轴表示表示建立直角坐标系，横轴)()(krkrkrprpr练习：试求如图所示一幅10×10，８级灰度图像的灰度直方图。0000000000111111111111111111112222222222333333333333333333333333333333555555555577777777777777777777c)作图nk01234567rka)将图像的灰度级归一化,0,1,,11kkrkLL求得：rk=0,1/7,2/7,…,6/7b)计算各灰度级的像素频数()krknprNPk=0.1,0.2,0.1,…偏暗图像及其直方图动态范围偏小图像及其直方图动态范围正常图像及其直方图二、直方图的用途1.数字化参数可用来判断一幅图像是否合理地利用了全部被允许的灰度级范围。一幅图像应利用几乎全部的灰度级。2.边界阈值选取0阈值点灰度频率三、积累直方图积累直方图就是由前k个等级之和生成的积累直方图。tk=EH(rk)==,0≤rk≤1,k=0,1,…,L-1假设tk=EH(rk)=1/4,那么灰度rk映射到tk意味着tk=1/4一下的灰度占像素总数的1/4。如果tk=1/2,那么tk=1/2以下的像素占像素总数的1/2，即tk的直方图是均匀分布的。EH(rk)是一个单调增加函数，它等于灰度在rk一下的像素所占的比例，可以写出反函数:rk=EH-1(tk),0≤tk≤1,k=0,1,…,L-1kiirrp0)(kiinn0举例应用：直方图修正灰度修正（改变像素灰度值）⇔改变直方图（修正）⇔灰度非线性变换方法：直方图均衡化直方图规定化（匹配）3.3.1直方图均衡化一、直方图均衡化灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级与其出现频率间的关系,它能描述该图像的概貌。通过修改直方图的方法增强图像是一种实用而有效的处理技术。直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到一幅灰度直方图为均匀分布的新图像的方法。直方图均衡化对连续变化图像：设r和s分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正后的图像灰度。即在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且0,1rs()sTr1将非均匀密度变换为均匀密度T(r)Pr(r)Ps(s)s1s1rr1T(r)作为变换函数，满足下列条件：①在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变；②在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的像素灰度在允许的范围内。反变换关系为T-1(s)对s同样满足上述两个条件。由概率论理论可知，如果已知随机变量r的概率密度为pr(r),而随机变量s是r的函数，则s的概率密度ps(s)可以由pr(r)求出。假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根据分布函数定义()()()srSsrFspsdsprdr1()rTs利用密度函数是分布函数的导数的关系，等式两边对s求导，有：可见，输出图像的概率密度函数可以通过变换函数T(r)控制原图像灰度级的概率密度函数得到,因而改善原图像的灰度层次,这就是直方图修改技术的基础。从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方图如果是均匀分布的，即Ps(s)=k(归一化时k=1)时，该图像色调给人的感觉比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分布的直方图，这样修正后的图像能满足人眼视觉要求。因为归一化假定则有1()()()rsrrrddrdPsprdrppTsdsdsds()1sPsdrrpdsr)(两边积分得上式表明，当变换函数为r的累积直方图函数时，能达到直方图均衡化的目的。对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函数T(rk)的离散形式可表示为:上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图像的直方图算出。0()()rrsTrprdrkjjkjjrkknnrprTs00)()(一幅图像的sk与rk之间的关系称为该图像的累积灰度直方图。rkPr(rk)rkS(rk)1.01.01.0直方图均衡化的计算直方图均衡化过程（算法）：(1)列出原始图灰度级rk；(2)统计原始直方图各灰度级像素数nk;(3)计算原始直方图各概率：pk=nk/N;(4)计算累计直方图：sk=Σpk;(5)取整Sk=int{(L-1)sk+0.5};(6)确定映射对应关系：rksk;(7)统计新直方图各灰度级像素nk';(8)用pk(sk)=nk'/N计算新直方图。其中L是灰度层次数，N是图幅总像素数。直方图均衡化计算列表序号运算步骤和结果1列出原始灰度级rk012345672统计原始直方图各级灰度nk7901023850656329245122813计算原始直方图rk的pk0.190.250.210.160.080.060.030.024计算累计直方图sk0.190.440.650.810.890.950.981.005取整sk=int[(L-1)sk+0.5]135667776确定映射关系(rk→sk)0-11-32-53,4-65,6,7-77统计新直方图各灰度级n’k79010238509854488计算新直方图0.190.250.210.240.11直方图均衡化结果pr(rk)0.100.050.150.200.25rk7271737475761(a)00.250.210.160.080.060.030.020.950.190.440.650.810.890.98(b)00.400.200.600.801.00Skrk72717374757610.190.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk7271737475761(c)0直方图均衡化效果3.3.2直方图匹配（规定化）直方图均衡化的优点是能自动地增强整个图像的对比度，但它的具体增强效果不易控制，处理的结果总是得到全局均衡化的直方图。实际中有时需要变换直方图使之成为某个特定的形状，从而有选择地增强某个灰度值范围内的对比度。均衡化后直方图原直方图规定直方图rszPr(r)Pz(z)s=T(r)v=G(z)s=T(r)z=G-1[T(r)]连续图像：设Pr(r)和Pz(z)分别代表原始图像和规定化处理后图像的灰度概率密度函数.对原始直方图进行均衡化处理，有：0()()rrsTrPrdr0()()zzvGzPzdz对规定化后的直方图均衡化处理，有：111()()[()]zGvGsGTr两者经直方图均衡化处理后应有相同的直方图，因此规定化后的的图像灰度级为：对于数字图像，有：()kzknPzN0()()kkkiivGzPz11()[()]kkkzGsGTr例假定有一幅总像素为N=64×64的图像，灰度级数为8，各灰度级分布列于表中。对该图像进行如图所示的直方图规定化。811222453296568501023790原图各灰度级像素数nk76543210原图灰度级rk,k=0,1…,7(c)0.301/73/75/71Pz(zk)0.150.20.30.20.15zk0.20.1解：直方图规定化计算过程如下：1列出原图灰度级rk,k=0,1…,7012345672统计原图各灰度级像素数nk7901023850656329245122813计算原始直方图各概率：Pk=nk/N0.190.250.210.160.080.060.030.024计算累计直方图：sk=Σpk0.190.440.650.810.890.950.981.005规定直方图Pz(zl)=nl/N0000.150.20.30.20.156计算规定累计直方图:ΣPz(zl)0000.150.350.650.8517SML映射（l）345667778确定映射对应关系(k→l)0→31→42→53,4→65，6,7→79变换后各灰度级像素n'z000790102385098544810变换后直方图0.190.250.210.240.11pr(rk)0.100.050.150.200.25rk7271737475761原图00.250.210.160.080.060.030.020.190.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk7271737475761直方图均衡化00.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk7271737475761直方图规定化0(c)0.30.20.101/73/75/71Pz(zk)0.150.20.30.20.15zk希望直方图直方图规定化