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第1页教学目标1．深入了解轴对称的含义以及轴对称图形的特征；2．垂直平分线的性质及应用；3．掌握等腰三角形、等边三角形的性质。教学重难点1.将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。2.提升分析问题、解决问题的能力。轴对称章节复习一、上节回顾1、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=12cm，AB=7cm，那么DE的长度为2.5cm．2、在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=30°．3、如图，点A、C、D、E在Rt△MON的边上，∠MON=90°，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE=a，BH=b，DF=c，图中阴影部分的面积为a2+c2+ac（用含a，b、c的代数式表示）．4、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，CB=CD，AB=7，AD=10，则DF=1.5．二、本节内容第2页知识点一：轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．【例1-1】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（C）A．B．C．D．举一反三：1、国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后，能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（C）A．1个B．2个C．3个D.4个2、下列图形中，不是轴对称图形的是（C）A．B．C．D．第3页3.下列数学符号中，是轴对称图形的是（C）A．B．C．D．知识点二：线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（2）线段的垂直平分线的作法：①分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；②作直线CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。【例2-1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（B）cm．A．13B．19C．10D．16举一反三：1、下列命题中正确的命题有（A）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.⑤点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（B）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3、如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于第4页18cm，则AC的长等于（C）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm4、在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAE=∠B+30°，求∠AEC。40知识点三：等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；第5页③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【例3-1】若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（B）A．9B．12C．9或12D．10【例3-2】等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（B）A．105°B．120°C．135°D．150°举一反三：1、已知等腰三角形两边a，b，满足0=）13-3b+2a|5+3b-2a|2（，则此等腰三角形的周长为（A）A．7或8B．6或10C．6或7D．7或102、如图，已知AD=DB，CD⊥AB，E是BC延长线上一点，∠A=36°，则∠DCE=___126______（2）（3）3、已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（A）A．5B．6C．7D．84、如图，等边三角形剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（C）A．180°B．220°C．240°D．300°5、如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、……在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、……均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（C）A．32B．64C．128D．256知识点四：最短路径问题【例4-1】已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。第6页【例4-2】如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．【例4-3】已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.举一反三:1.如图，在△ABC的一边AB上有一点P．（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；（2）若∠ACB=52°，在（1）的条件下，求出∠MPN的度数第7页2.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．第8页3、如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．（1）写出△AOB的面积为；（2）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P，并求出点PA+PB的值．三、课堂练习1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（B）A．48°B．54°C．74°D．78°2．下列说法中，正确的是（A）A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形B．全等三角形是关于某直线对称的C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DB=DC，若BC=6，AD=5，则图中阴影部分的面积为（C）A．30B．15C．7.5D．6第9页4、如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为10cm，求△PAB的周长为(C)A．5cmB．10cmC．20cmD．15cm5、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（B）A．25°B．45°C．50°D．70°(题6)6、已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD=126,14．7、已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC=160．8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（D）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°9、在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为65,25。10、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB交BC于E、交AC于F，∠CDE=∠ACB=30°，BC=DE．求证：△FCD是等腰三角形．由平行可求得∠EFC，由三角形的外角可求得∠FCD，则可证明FD=FC，可证得结论．第10页11、如图所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间15时30分12．如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．等边三角形由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出∠A=∠C，再由∠ABC=∠A，得出∠ABC=∠A=∠C，即可得出结论．13、如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（A）A．5mB．8mC．10mD．20m14、如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．第11页（1）根据等边三角形的性质得出AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°，求出△ABE≌△CAD，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等求出∠CAD=∠ABE，求出∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，根据含30°角的直角三角形性质求出BP，即可求出答案715.造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）四、课堂小结注意点：①含30度角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．②凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．五、巩固提高3.把正六边形沿对称轴对折后，所得图形的内角和是（C）A．360°B．540°C．360°或540°D．不确定4.下列说法中，正确的有（A）个．①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④到△ABC的三个顶点距离相等到的点是三条边的垂直平分线的交点．A．1B．2C．3D．4第12页4．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（A）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、如图，在△ABC中，∠ACB=9