数列通项公式的求法(高三专题复习)

**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第1页******************************课题数列通项公式的求法(专题)一、考纲要求：掌握求数列通项公式的常见方法及基本技巧.二、学习目标：1、掌握等差,等比数列通项的求法。2、掌握通过数列递推关系求通项的常见方法。三、学法指导：化归与转化的思想四、学习过程求数列通项的常见方法(一)公式法：1、等差数列的通项公式:;等比数列的通项公式.2、利用an与Sn的关系：例1:已知在正项数列{an}中,其前n项和为Sn,且满足:12nnas,求an练习:(1).设数列{an}是首项为2的正项数列且前n项和为Sn满足nan+1=Sn+n(n+1)(n≥2)求数列{an}的通项公式.(2).已知数列{an}的其前n项和Sn,满足Sn=n2an(n≥2)且a1=1,求数列{an}的通项公式.(二)利用递推关系求通项1、累加法:形如an+1=an+f(n)的递推关系（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第2页******************************方法如下：由)(1nfaann得：2n时，)1(1nfaann，)2(21nfaann，)2(23faa)1(12faa所以各式相加得)1()2()2()1(1ffnfnfaan即：111)(nknkfaa.为了书写方便，也可用横式来写：2n时，)1(1nfaann，112211)()()(aaaaaaaannnnn=1)1()2()2()1(affnfnf.例2:已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2).(1)求a2,a3(2)求数列{an}的通项公式练习:(3).已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第3页******************************(4).已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.2、累乘法:形如an+1=f(n)an的递推关系（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由)(1nfaann得2n时，)1(1nfaann，112211aaaaaaaannnnn=f(n)f(n-1)1)1(af.例3已知数列{an}满足a1=1,2n-1an=an-1(n≥2)(1)求数列{an}的通项公式.(2)这个数列从第几项起及其后面的项均小于10001?练习:(5).已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第4页******************************(6).设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），求na的通项公式.3、待定系数法(构造新数列)：(1)形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得dc)1(,所以)0(,1ccd,所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann.规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为c的等比数列}1{cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann例4已知数列}{na满足a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第5页******************************练习(7)已知数列}{na中，,2121,211nnaaa.求数列{an}的通项公式(8)已知数列}{na满足a1=2,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式(2)形如)(1nfpaann型①若nqnf)(则等式两边同除以pn转化为(1)形再求解.②若f(n)非指数形式,则可通过待定系数构造新数列,方法如下:设存在实数s,t,使得an+1+sf(n+1)+t=p[an+sf(n)+t]通过比较,求出s,t,转化为等比数列再求通项例5已知数列{an}满足,a1=1,an+1=2an+3n,求数列{an}的通项公式(用两种方法求解)练习(9)已知数列{an}中,a1=0.5,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,n∈N*,求数列{an}的通项公式.**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第6页******************************4、取倒数法形如sraqpaannn1型（1）0,0,,qsrp即srapaannn11取倒数转化为an+1=pan+q的形式再求解.例6.已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na(2)形如),,(1为定值qpmqapmaannn型(同学们自己研究)方法：不动点法:我们设qxpmxxf)(,由方程xxf)(求得二根x,y,由qapmaannn1有qaxaqxpmqqxpmxqapmaxannnnn1同理qayaqypmqqypmyqapmayannnnn1,两式相除有yaxaqxqyaxannynn11,从而得yaxaqxqyyaxannn11111)(,再解出na即可.例7.设数列｛an｝满足7245,211nnnaaaa,求｛an｝的通项公式.解：(此类问题常用参数法化等比数列求解)对等式两端同时加参数t,得：725247)52(727)52(72451nnnnnnnattatatattaata,**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第7页******************************令5247ttt,解之得t=1,-2代入72)52(1nnnatatta得721311nnnaaa,722921nnnaaa,相除得21312111nnnnaaaa,即{21nnaa}是首项为412111aa，公比为31的等比数列,21nnaa=n1341,解得13423411nnna.方法2：,721311nnnaaa，两边取倒数得1332)1(39)1(2)1(372111nnnnnnaaaaaa，令b11nna，则bnnb332,,转化为类型3来求.5、特征根法：形如an+2=pan+1+qan(其中p,q为常数)的递推关系方法:对于递推公式an+2=pan+1+qan,a1=α,a2=β给出的数列{an},方程x2-px-q=0,叫做数列{an}的特征方程.若x1,x2是特征方程方程的两个根(叫做特征根)Ⅰ.若x1≠x2时,数列{an}的通项为1211nnnBxAxa,其中A,B由a1=α,a2=β决定(即把a1,a2,x1,x2和n=1,2,代入1211nnnBxAxa得到关于A,B的方程组解出A,B的值)Ⅱ.若x1=x2时,数列{an}的通项为11)(nnxBnAa其中A,B由a1=α,a2=β决定(即把a1,a2,x1,x2和n=1,2,代入11)(nnxBnAa得到关于A,B的方程组解出A,B的值)例8.数列{}na中，若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na.**********************************高三数学(文)教学案******************************************************************高三数学(文科)备课组第8页******************************练习(10)已知数列{}na满足06512nnnaaa，且5,121aa,求na6、取对数法：形如rnnpaa1(其中p,r为常数,且p0，0na)型（1）p0，0na用对数法.例9.设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.（2）p0时用迭代法例10.已知数列:,}{且满足的各项都是正数naNnaaaannn),4(21,110，求数列}{na的通项公式an.