高考卷 07普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则A（CUB）等于A.{2}B.{5}C.{3,4}D.{2,3,4,5}解析：（CUB）={3，4，5}，A（CUB）={3，4}，选C(2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于A.4B.8C.16D.32解析：a2·a6=a42=16，选C(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于A.0B.21C.23D.1解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin215°+cos215°=1，选D（4）“|x|2”是“x2-x-60”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由|x|2得-2x2,由x2-x-60得-2x3，选A（5）函数y=sin(2x+3)的图象A.关于点（3，0）对称B.关于直线x=4对称C.关于点（4，0）对称D.关于直线x=3对称解析：由2x+3=kπ得x=621k，对称点为（621k，0）（zk），当k=1时为（3，0），选A（6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于A.45°B.60°C.90°D.120°解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足)1()1(fxf的实数x的取值范围是A.（-，1）B.（1，+）C.（-，0）（0，1）D.（-，0）（1，+）解析：由已知得11x解得0x或x1，选D（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是A.若a·b＝0，则a=0或b=0B.若a=0,则＝0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a-b=a·c，则b=c解析：a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B(9)已知m,n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.mnm,,∥，n∥∥B.∥，nm,，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0D.x2+y2+4x+5=0解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为1)2(22yx，即x2+y2-4x+3=0，选B(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f(x)，g(-x)=g(x),且x0时f’’(x)0,g’(x)0,则x0时A.f’(x)0,g’(x)0B.f’(x)0,g’(x)0C.f’(x)0,g’(x)0D.f’(x)0,g’(x)0解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反,x0时f’’(x)0,g’(x)0,递增,当x0时,f(x)递增,f’(x)0;g(x)递减,g’(x)0,选B(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A.2000B.4096C.5904D.8320解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。（13）（x2+x1）6的展开式中常数项是.（用数字作答）解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个x1，故常数项为1526C法二：展开后可得常数项为15（14）已知实数x、y满足,30,2,2yyxyx则z=2x-y的取值范围是.解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7]（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。解析：由已知C=2，2142,43433222aceaaaabab（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a;(2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;(3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系：.解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，tanA=41,tanB=53.(I)求角C的大小;(II)若AB边的长为17，求BC边的长本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)=，＝153·4115341又∵0C,∴C=43(II)由,1cossin,41cossintan22AAAA且A∈（0，2），得sinA=.1717∵,sinsinABCCAB∴BC＝AB·2sinsinCA.（18）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.(I)“甲第三次试跳才成功”为事件21AAA3，且三次试跳相互独立，∴P（21AAA3）＝P（1A）P)()(32APA=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：C＝A111111111111BABABABABAB、、，且彼此互斥，∴P（C））（）（）（＝111111···BAPBAPBAP＝）（）（）（）（）（）（111111BPAPBPAPBPAP＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88.解法二：P（C）＝1-）（）（11·BPAP＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.∴所求的概率为）（）（）＝（12011201NMPNMPNMNMP)()(1201NPMPNPMP）（）（＝＝C12×0.7×0.3×0.42+0.72×C12×0.6×0.4=0.0672+0.2352=0.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.（19）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1⊥平面A1BD;(II)求二面角A-A1D-B的大小.本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解法一：（I）取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝554，又∵AG＝121AB=2,∴sin∠AFG=4105542AFAG,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin410.解法二：（I）取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以a为原点，OAOOOB，，1的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0),∴)3,2,1(),0,1,2(),3,2,1(11BABDAB＝∵，＝＝＝0341·,0022·111BAABBDAB∴1AB⊥1ABBD，⊥1BA,∴AB1⊥平面A1BD.(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).).0,2,0(),3,1,1(1AAAD＝∵n⊥nAD,⊥1AA,∴，＝，＝0·0·1AAnADn∵,02,03yyx∴zxy3,0令z=1得a=(-3,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴1AB为平面A1BD的法向量.cosn11AB=|AB|n|·11ABn=22·233=-46.∴二面角A-A1D-B的大小为arccos46.(20)（本小题满分12分）设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t0).(I)求f(x)的最小值h(t);(II)若h(t)-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.解：（I）∵1)()(32tttxtxf（0,tRx），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：T(0,1)1(1,2)g’(t)+0-g(t)递增极大值1-m递减∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m0所以m的取值范围为m1（21）（本小题满分12分）数列{an}的前N项和为Sn,a