普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 20版

理科数学试题B第1页（共5页）姓名：______________准考证号：________________________（在此卷上作答无效）绝密★启用前试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卓宇文化高考命题研究中心、湘潭大学数学与计算科学学院共同命制本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记集合“差集”{|,}CABxxAxB。若U为全集，则()CUBA，可知一定没有A．BCB．CAC．()CABAD．CB2．设复数z满足2(1)12zii，记z为复数z的共轭复数，则zzA．2B．2C．1D．13．已知命题p:ln1x，命题2q:450xx，则在下面四个选项的命题中，为真命题的一项是A．1Q：若p，则qB．2Q：若q，则pC．3Q：若p，则qD．4Q：若q，则p4．已知1a，logeb，1eec，则A．abcB．bacC．bcaD．cab5．记数列na的差分为1nnnaaa。对于数列的n阶差分记为111nnnnnnaaa，若已知22na，11a，且nan为等差数列，则数列na的通项公式为A．22nnB．2nC．2nnD．21n6．在三角学中，为了方便表示一些非特殊角，常用符号“arc”加上某个三角函数符号来表示它对应的反三角函数。例如：cos([0,],[1,1])mm，则arccosm。若0,022，6arcsin342，1arccos234，则cos2A．33B．33C．439D．69理科数学试题B第2页（共5页）7．毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”，同时发展了一些基本的平面几何理论，并在研究“多边形数”时有众多发现。在研究五边形数时，毕达哥拉斯在石板上计数，用框图可以表示如下，若最终输出的5i，则可填入的S的最大值为A．16B．17C．30D．318．若322345601234562axxaaxaxaxaxaxax，且1a，已知1234234aaaa56566aa，则1eadxxA．2B．2C．3D．49．已知()lnxfxxex，()1fxkx在(0,)上恒成立，则k的最大值为A．2e1B．1C．e1D．e2ee10．数学家黎曼曾用黎曼球面来扩充复平面，如图，复平面上有一半径为2的黎曼球面，球与复平面切于点O，球的最高点为P，在复平面上任取一点M，连接PM，PM交该球面于一点Q，这样就建立起了球面上的点与复平面上的点之间的一一对应。若M是一个动点，且线段||8PM。连接OQ，当M在运动时，线段OQ围成的曲面1V，以及Q点轨迹上方的曲面2V所构成的几何体的内切球体积为A．16π3B．64π9C．256π81D．323π2711．在群论中，对于矩阵的变换，我们经常用到置换群。置换是一个一一映射，它将集合中的某个元素映射到该集合的某个元素，例如：我们考虑一个三元数集的置换123123xxx，它把1映射到了1x，且1x，2x，3x不同，123,,{1,2,3}xxx。记{1,2,3,4,5,6,7}aA，对A的一次置换f可以写成1faa，若对于置换f，满足：①aa；②10faa，则满足条件的置换f的个数为A．504B．720C．830D．100812．在椭圆22184xy内有一点(1,1)E，过点E有两条弦,ABCD。记直线,ACBD的交点为F，坐标原点为O，则||OF最小值为A．855B．3355C．655D．455二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡上。13．已知0x，0y，()4xyxy，则xy的最小值为。本试卷由卓宇文化独家发行，版权所有，翻印必究！理科数学试题B第3页（共5页）14．李华要上100级台阶，他走一步可以迈过1级、2级…甚至100级台阶（一种可行的方案为：走一步，上100级台阶，直接登顶）。李华想知道，如果他决定走5步登上这100级台阶，那么该情况下的方案数占所有可行方案数的（若数据足够大可以保留数学符号）。15．已知||||2ab，||1c，()()0acbc，则||ab的取值范围是。16．记函数2()cos()3cosfmR的最大值为()gm，则()gm的最小值为。三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题（共60分）17．（本小题满分12分）在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量。A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户。按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率分布直方图。（1）求这40人中有多少人来自C镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户。（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及期望。18．（本小题满分12分）在探究两互相垂直的异面直线的性质时，得到了一个优美的平面——马鞍面。李华想用小木棍搭出一个马鞍面，于是他先准备画一幅图，李华先画出一个长方体1111ABCDABCD，底面ABCD为边长为2的正方形，高11AA，之后他开始寻找到线段BD与线段11AC距离相等的P点的轨迹（在长方形11BBDD上）。（1）试说明P点轨迹的形状；并设该曲线焦点为R，求证：RB面11ACD；（2）为了确定马鞍面的具体形状，李华又画出了在长方形11ACCA上到线段BD与线段11AC距离相等的Q点的轨迹，为了安装时连接牢固，李华又找了结点M（即1CD中点）。若此时动点P恰好在Q点的轨迹上，且Q点满足4AQD，试求二面角APQM的余弦值的大小。本试卷由卓宇文化独家发行，版权所有，翻印必究！理科数学试题B第4页（共5页）19．（本小题满分12分）数学家阿波罗尼斯曾著有《圆锥曲线论》，用纯几何方法探究出了圆锥曲线的众多性质；他还发现到两定点的距离为定值的动点的轨迹是圆。（1）在平面上作线段4CD，取CD中点E，令B为DE的中点，以D为圆心，DE长为半径作圆D，取直线BC外圆D上任意一点A，连接AB，AE，AC，已知3ADC；若在弧AE上存在点P满足：sinsinsinBACBAPCAPAPACAB，求PAC的余弦值；（2）阿波罗尼斯曾发现在三角形内构造直角三角形有助于解一类特殊的三角形：在锐角ABC中，D为AB中点若23BADCABAC，求tantantanABC的最小值。20．（本小题满分12分）已知函数()ee(1)xxfxaax()aR（1）求函数()fx的极值点；（2）若对于任意的01a，关于x的不等式：21[()]eafxa在区间(1,)a上存在实数解，求实数的取值范围。21．（本小题满分12分）现有有序点列(0)(0)(0)123,,PPP依次连结该点列中相邻两点得到折线段0L，为了以该折线段为轮廓构造出一条光滑曲线，进行如下操作：①作出该折线段上所有相邻两点的中点，此操作称为“分割”；②继续作该折线段上所有相邻两点的中点，并以此连结这些中点得到新的折线段，此操作称为“平均”；①、②操作合称为一次“细分”。原折线段进行一次细分操作后，就会得到一条新的折线段。若不断对新得到的折线段重复上述操作，即可得到一条光滑曲线，这条曲线被称为Chaikin曲线，这一过程被称为曲线细分。（1）设折线段0L在经过n次“细分”后得到的曲线nL由na个点组成。(ⅰ)求1a、2a；(ⅱ)求数列{}na的通项公式。（2）若将折线段0L经过n次细分后得到的折线段nL所对应的有序点列记作()()12,,nnPP，请写出有序点列(1)(1)12,,nnPP与有序点列()()12,,nnPP之间的递推关系。注：对于点1122,,,PxyQxy，我们可以用PQ表示点1212,xxyy；cP表示点12,cxcx，其中cR。本试卷由卓宇文化独家发行，版权所有，翻印必究！理科数学试题B第5页（共5页）（二）选考题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22．【选修4-4——坐标系与参数方程】（本小题满分10分）我们知道参数方程是通过参数和曲线上的点实现一一对应，有时候我们未必会直接写出x，y关于t的显式表达。比如这个的参数方程：tt（t为参数），确定了一个曲线，其中，1xy，1xy，1x。又已知，函数()axbfxcxd，满足任意Rx，()fxx且(())ffxx。（1）若曲线上存在两点P、Q（两点分别对应曲线的参数p和参数q），求证：直线PQ的方程为()0pqpq；（2）任从曲线上选取一点P（其对应参数为p），设曲线上的对应参数为()fp的点为Q，求证：直线PQ恒过一个定点。23．【选修4-5——不等式选讲】（本小题满分10分）已知有小于1的(2)nn个正数12,,,nxxx，满足11niix，求证：3114niiixx。本试卷由卓宇文化独家发行，版权所有，翻印必究！