二次函数与角有关的问题整理

二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。首先，我将这些题大致分成两大类：一类是相等角问题；一类是半角或倍角问题。相等角问题又分为三种：第Ⅰ种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。如例1抛物线y=-x2+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长，根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。第Ⅱ种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.yxy=-x2+3x+4PACBOMyx(n,0)y=-x2+3x+4DPACBOM（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-2x-6及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，则tan∠FAB=，过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。另一种是所求角的边不与坐标轴平行。例3如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。yxEDCBAOFyx(2，0)(0，-6)(2，-8)(6，0)(-2，0)HEDCBAOF分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x2-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC时，先来讨论∠CDF=∠AEC的情况。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，当∠CDF=∠AEC时，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D的坐标。当∠DCF=∠AEC时,可用同样方法求出D点坐标。第Ⅲ种是将等角问题转化成角平分线问题例4(2017丹东有删改）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，yx（32，0）FECBAODyx2-4m6m8m4m3m（32，0）（1,0）（0,2）（-4,0）IGHFECBAODyx323(-112,3)（32，0）（1,0）（0,2）（-4,0）JKFECBAOD∠ABC=90°，点C(4,8)在第一象限内，AC与y轴交于点E.抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，-6）.(1)请直接写出抛物线的表达式.(2)若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN.若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-6及各定点坐标如图所示。此题也需要分类：当M在A点右侧时，满足条件的点N在∠CAB的平分线上，可设AN与CB交于点E，通过作CA的垂线，设BE长为m,在Rt△CEF中利用勾股定理求出BE长，进而求出E点坐标，再求直线AE表达式，与抛物线表达式联立后，即可求出N点坐标。或是E点坐标求出后，设N点坐标，表示NH,AH长利用相似求解；当M在A点左侧时，易知AN’所在直线平分∠CAM’,可得AN’⊥AN,由直线AN表达式及A点坐标可求AN’表达式，进而可求出N’坐标。再求角平分线AN时我们借助了E为中间点，其实还有其他中间点的找法。如过C作CQ//x轴交AN于点Q，由角平分线加平行必有等腰三角形可知CQ=AC=10，可得Q点为C点向右平移10个单位得到的，则Q（14,8），接着就可求出AN的表达式进而完成此题了。或是作C关于AN的对称点C’，C’一定落在x轴上，连接CC’交AN于点P，则P为CC’的中点，由对称可知AC’=AC=10，可求出C’（8,0），再由P为CC’中点可求P点坐标（6,4），接着就可求出AN的表达式，也能完成此题。另一类是半角或二倍角问题yx（0，-6）（4,8）DABCOyx（0，-6）（4,0）（-2,0）（4,8）HFEDABCONMN'此类问题的关键是如何构建半角或倍角模型，通过两道题说明。先来看例5：例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+5)(x-3)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2,4）.（1）直接写出抛物线的表达式和点B的坐标;（2）P为抛物线与y轴交点，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得∠DAB=∠PBA？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。yxPBAOyx（0,4）（3,0）（-5,0）GFPBAOyx（0,4）（3,0）（-5,0）HEPBAOD分析：由已知条件易得抛物线表达式y=-x+4及B点坐标.第二问，首先要构建∠PBA的半角，可以直接做∠PBA的平分线交y轴于点F，则∠FBO就是∠PBA的半角，这样半角问题就转化成了等角问题，此题属于等角问题中第Ⅱ种的a情况。接下来就要确定∠FBO正切值，这里可以用类似例4的方法，过F作PB的垂线，设BF长，再表示Rt⊿FGP的各边长，然后利用勾股定理或相似三角形的知识求出BF长，进而求出tan∠FBO=，通过构建直角三角形，设点D坐标表示DH和AH线段长，利用tan∠DAH=tan∠FBO=即可求出D点坐标。构建半角时，还可利用等腰三角形的外角构建，就是在OB的延长线上取一点E，使BE=PB，连接PE，则∠PEO就是∠PBA的半角，同样能求出∠PEO的正切值，及D点坐标。解法小结：由此题可知，半角问题实际上就是等角问题的变式，只要构建出半角，即可按等角问题的方法去解题。构建半角的方法主要有两种，一种是直接做角平分线，另一种是反向延长角的一边构建等腰三角形得到半角。再来看倍角的情况，例6（2018常熟市一模有删改）如图1，抛物线y=-(m-1)x-m(m0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上，过点D作DH⊥BC，垂足为H,连接CD.是否存在点D，使得△CDH的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由.EDACB12ααDCAB分析：通过已知条件易得抛物线表达式y=-x-2及各点坐标。第二问大家不难看出，此题其实是例3的一种变式，我们将例3的图形沿y轴翻折，再沿x轴翻折就可得到与本题类似的图形，因此，只要我找到2倍角，就可以将这道题转化成等角问题，然后用例3的方法就能求解了。先来构建2倍角，还是利用等腰三角形的外角构建，在OB上取一点E使CE=BE，连接CE，则∠OEC就等于∠ABC的2倍，通过设OE长为n，再表示出CE、OC，根据勾股定理列方程求出n,进而求出tan∠OEC=。这时，再按照例3的方法，也就是等角问题第Ⅱ种情况的b类问题的求解方法就能求得D点的横坐标了。思路分析：解决此类问题的关键是构建2倍角，常用的方法有两种，一种是在较长直角边AC上取一点D，使BD=AD，这时∠BDC就∠A的2倍角，如果三角形三边长为3,4,5，就可以通过设CD长，借助勾股定理求出CD长，进而求出2倍角的正切值。或是取AB的中点做中线，由斜边中线等于斜边的一半可知∠BEC就∠A的2倍角.在通过等积法求高CF，斜边中线等于斜边一半求CE，进而求出2倍角的正切值。都是利用了等腰三角形的外角等于不相邻的内角的2倍的模型构建出来的。以上就是我对与角有关的压轴题的一些整理！yxHCBAODyxEHCBAOD4-n4-nn2ααα2αFEDACCABB