高等数学导数的概念

第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节机动目录上页下页返回结束导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tft自由落体运动机动目录上页下页返回结束xyo)(xfyC2.曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xx机动目录上页下页返回结束两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动目录上页下页返回结束二、导数的定义定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx)(0tf)(0xf说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.机动目录上页下页返回结束)()(0xfxfy0xxx若上述极限不存在,在点不可导.0x若,lim0xyx也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意:)(0xf0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.机动目录上页下页返回结束例1.求函数(C为常数)的导数.解:y即例2.求函数解:axafxf)()(axlimaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1naxxfxxf)()(0limx机动目录上页下页返回结束说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，)(x)(21x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）机动目录上页下页返回结束hxhxhsin)sin(lim0例3.求函数的导数.解:则hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos机动目录上页下页返回结束例4.求函数的导数.解:hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即xx1)(ln0limhh1x1x0limhelnxhhh1lim0或机动目录上页下页返回结束则令,0hxt原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可导.证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在,例6.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解:原式0limh)(0xfhhxf2)(0)(0xf)(210xf)(210xf)(0xf)(2)(0hhxf)(0xf机动目录上页下页返回结束练习：习题2.1题100000000000000000000000000000014:lim,221lim,2lim2=lim2limlim22limlim221A=-xxxxxxxxxAfxxfxxfxxfxxxAfxxfxxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxxxfxxfxfxxfxxxfxfxfxfx得.三、导数的几何意义xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x机动目录上页下页返回结束1111例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:3231x,0xy令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线机动目录上页下页返回结束四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故0x所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyoxy在x=0处连续,但不可导.即机动目录上页下页返回结束在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作)(0xf即)(0xf(左)(左))0(x)0(x))((0xf0x例如,xxf)(在x=0处有xyoxy定义2.设函数有定义,存在,机动目录上页下页返回结束定理2.函数在点且)(0xf存在)(0xf简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数)(bf与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且机动目录上页下页返回结束练习：讨论下列函数在x=0时候的连续性与可导性.练习：习题2.1题81sin,00,0.kxxfxxx00010001001limlimsin00,lim0001sin010limlimlimsin00lim10,1.kxxkxkkxxxkxxfxxfxxkxxfxfxxxxxxkk若函数在连续，则必须满足，即可.若函数在可导，即f存在，当且仅当存在，习题2.1题7，题82,1,1.xxfxaxbx_2111111,1lim1,1lim11,1.xxfxxffffxfaxbabfab在连续，得2111111111,111limlimlim12,1111limlim111lim,2,1.1xxxxxxfxxffxfxxxxfxfaxbabxxaxaabx在可导，得fff000009.0,sincos,0,1,0000limlim00sinlim1,000limlim10001.xxxxxxfxxxxfxxfxffxfxxxxxfxfxxxf当当当时，ff内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(lnx;0;sinxx1增量比的极限;切线的斜率;机动目录上页下页返回结束思考与练习1.函数在某点处的导数区别:)(xf是函数,)(0xf是数值;联系:0)(xxxf)(0xf注意:有什么区别与联系?])([)(00xfxf？与导函数机动目录上页下页返回结束2.设存在,则.________)()(lim000hxfhxfh3.已知则)(0xf0k4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动目录上页下页返回结束5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:)0(f00sinlim0xxx1)0(f00lim0xxaxa故1a时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.机动目录上页下页返回结束作业P495,7,9第二节目录上页下页返回结束备用题解:因为1.设存在,且求所以)()1())(1(lim210xfxfx机动目录上页下页返回结束在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设xfxfx)0()(lim0故机动目录上页下页返回结束