波利亚数学解题思想研究

波利亚数学解题思想研究乔治·波利亚（GeorgePolya，1887～1985），美籍匈牙利数学家，20世纪举世公认的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。他在长达半个世纪的数学教育生涯中，为世界数学的发展立下了不可磨灭的功勋。他的数学思想对推动当今数学教育的改革与发展仍有极大的指导意义。本文拟从数学解题思想方面对波利亚的数学思想进行述评，并结合当前数学教育的形势，探讨波利亚数学思想对我国数学教育改革的启示。1.波利亚数学解题思想的产生作为一线教师出身的数学家，波利亚深知“题目是数学的心脏”这一至理，“掌握数学就意味着善于解题”，他也深知“教学一般解题方法”的必要。为了帮助学生更好地学习数学，波利亚力求用朴素而现代化的形式来阐明探索法，经过多年的探索与总结，波利亚终于找到了“解题中典型有用的智力活动”，他所拟定的“解题表”便是实践其解题思想的首次尝试。2.波利亚数学解题思想的主要内容2.1波利亚数学解题思想波利亚一直强调要加强对学生的解题训练，其目的在于提高学生的数学素质。波利亚的数学解题思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。2.1.1问题与解法什么是问题？波利亚对此给予了十分广泛的意义：问题就是意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。按所要达到的目的的不同，对问题又可分为“求解的问题”和“求证的问题”这两类。什么是问题的解法？波利亚给出的答案是：就是在原先隔开的事物或想法（已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论）之间去找出联系。2.1.2怎样解题按照人们解题的思维程序，波利亚的解题思想自然的分成了四个部分：（1）弄清题意。无论是谁，哪怕是解一道再简单的题目，他也首先要知道“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知条件是否充分？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”。只有当你明确了题意，才能做出下一步打算。（2）拟定计划。弄清题意后我们就要寻求解题途径了。那么怎样才能简洁有效地制定解题计划呢？根据波利亚解题表上的叙述，此时人的思维过程往往是：见过这样（或形式稍有不同）的题吗？有哪些定理、法则、公式能被合理的应用吗？如果你以前解决过类似的问题，那么你能利用它的结果或方法吗？为了能利用它的结果或方法，你是否应引入某些辅助元素？如果至此你还没有制定出一个合理的解题计划，那就要考虑改换叙述，变换题目，先解特例或其一部分，变换已知未知，使其靠拢。当面对某些难题陷入困境时，要一而再，再而三地反思：全部已知都用了吗？全部条件都起作用了吗？全部概念都挖掘了吗？如果仍束手无策，只有拿出最后一招：回到定义，舍去生疏用语，用熟悉的概念突破难关。（3）实现计划。拟定好了解题计划，就要具体地用术语、符号、图形、式子表述出来，步骤清楚正确完整，经得起检验。做到这一点需要扎实的基本功。（4）检验回顾.波利亚指出：“即使相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来做。这样，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面——检验回顾”。通过回顾完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。3.波利亚数学解题思想对我国数学教育改革的启示3.1更新教育观念，使学生由“学会”向“会学”转变目前我国大力提倡素质教育，但应试教育体制的影响不是一天两日就能完全去除的。几乎所有的学生都把数学看成必须得到多少分的课程。这种体制造成片面追求升学率和数学竞赛日益升温的畸形教育，教学一味热衷于对数学事实的生硬灌输和题型套路的分类总结，而不管数学知识的获取过程和数学结论后面丰富多彩的事实。学生被动消极地接受知识，非但不能融会贯通，把知识内化为自己的认知结构，反而助长了对数学事实的死记硬背和对解题技巧的机械模仿。结合波利亚的数学思想及我国当前教育的形势，我国的数学教育应转变观念，使学生不仅“学会”，更要“会学”。数学教学既是认识过程，又是发展过程，这就要求教师在传授知识的同时，应把培养能力、启发思维置于更加突出的地位。教师应引导学生在某种程度上参与提出有价值的启发性问题，唤起学生积极探索的动机和热情，开展“相应的自然而然的思维活动”。通过具体特殊的情形的归纳或相似关联因素的类比、联想，孕育出解决问题的合理猜想，进而对猜想进行检验、反驳、修正、重构。这样学生才能主动建构数学认知结构，并培育对数学真理发现过程的不懈追求和创新精神，强化学习主体意识，促进数学学习的高效展开。3.2革新数学课程体系，展现数学思维过程传统的数学课程体系，历来以追求逻辑的严谨性、理论的系统性而著称，教材内容一般沿着知识的纵方向展开，采用“定义——定理、法则、推论——证明——应用”的纯形式模式，突出高度完善的知识体系，而对知识发明（发现）的过程则采取蕴含披露的“浓缩”方式，或几乎全部略去，缺乏必要的提炼、总结和展现。根据波利亚的思想，我国的数学课程体系应力图避免刻意追求严格的演绎风格，克服偏重逻辑思维的弊端，淡化形式，注重实质。数学课程目标不仅在于传授知识，更在于培养数学能力，特别是创造性数学思维能力。课程内容的选取，以具有丰富渊源背景和现实生动情境的问题为主导，参照数学知识逐步进化的演变过程，用非形式化展示高度形式化的数学概念、法则和原理。突破以科学为中心的课程和以知识传授为中心的教学观，将有利于思维方式与思维习惯的培养，并在某种程度上可以避免教师的生硬灌输和学生的死记硬背，教与学不再是毫无意义的符号的机械操作。课程体系准备深刻、鲜明生动地展开思维过程，使学生不仅知其然而且知其所以然，也是现代数学教育思想的一个基本特点。4.结束语波利亚的数学解题思想博大精深，源于实践又指导实践，对我国的数学教育实践及改革发展具有重要的指导意义。我们从中得到这样的启示：数学教育应着眼于探究创造，强调获取知识的过程及方法，寻求学习过程、科学探索和问题解决的一致性。它的根本意义在于培养学生的数学文化素养，即培养学生思维的习惯，使他们学会发现的技巧，领会数学的精神实质和基本结构，并提供应用于其他学科的推理方法，体现一种“变化导向的教育观”。