努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团1DSE金牌数学专题系列经典专题系列直角三角形边角关系一、导入二、知识点回顾(一)、基础知识1.锐角三角函数定义在直角三角形ABC中,∠C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是:(1)正弦定义:∠A的正弦=AasinA=c∠的对边,即斜边;(2)余弦的定义:∠A的余弦=AbcosA=c∠的邻边,即斜边,(3)正切的定义:∠A的正切=Aatan=Ab∠的对边,即∠的邻边这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件:(1)锐角∠A必须在直角三角形中,且∠C=900;(2)在直角三角形ABC中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则,不存在上述关系2、坡角与坡度:①坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度(或坡比),用字母i表示,即i=hl,坡面与水平夹角α叫坡角,即坡度等于坡角的正切(tanα=i)。②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示,坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度(或坡比),坡度是坡角的正切,坡度越大,坡面越陡3、锐角三角函数关系:(1)互为余角的三角函数关系.若∠A+∠B=∠90,则sinA=cosB,cosA=sinB.即:sin(90○-A)=cosA,cos(90○-A)=sinAtan(90○-A)=cotAcot(90○-A)=tanA(2)同角的三角函数关系.①平方关系:sin2A+cos2A=l②倒数关系:tanA×cotA=1③商数关系:sincostan,cotcossinAAAAAA4、特殊角的三角函数:00300450600sinA0212222cosA1222221tanA033135.三角函数的大小比较(1)同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数.三角函数值随角的增大而增大,随角的减小而减小.②余弦、余切是减函数.三角函数值随角的增大而减小,随角的减小而增大。(2)异名三角函数的大小比较①tanA>SinA,由定义,知tanA=ab,sinA=ac;因为b<c,所以tanA>sinA②cotA>cosA.由定义,知cosA=bc,cotA=ba;因为a<c,所以cotA>cosA.努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团2③若0○<A<45○,则cosA>sinA,cotA>tanA;若45○<A<90○,则cosA<sinA,cotA<tanA三、专题讲解【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,如果tanA=512,且AC=24,求:(1)BC和AB的长,(2)SinA和cosA的值1、在Rt△ABC中,∠C=90°,如果tanA=513,且AC=26,求:(1)BC和AB的长,(2)SinA和cosA的值2、在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC上的一点,如果tan∠ADC=43,tanB=12且BD=5,求AD:【例2】如图,某县为加固长90米,高5米,坝顶宽为4米,迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝.要将大坝加高1米,背水坡坡度改为1:1.5.已知坝顶宽不变.(1)求大坝横截面面积增加多少平方米?(2)要在规定时间内完成此项工程.如果甲队单独做将拖延10天完成,乙队单独做将拖延6天完成.现在甲队单独工作2天后,乙队加入一起工作,结果提前4天完成.求原来规定多少天完成和每天完成的土方数?努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团31、已知拦水坝的横截面为梯形ABCD,AD∥BC,AB=DC,AD=6,BC=14,梯形ABCD的面积是40,求斜坡AB的坡度。2、如图,水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽6米,坝高24米,斜坡AB的坡角为45º,斜坡CD的坡比为i=1:2,则坝底宽BC为多少米?【例3】计算(1)3cos30°+2sin45°;(2)sin60cos60tan45-·tan30°;(3)(sin60°+cos45°)(sin60°-cos45°);1、设x=(12)-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°,求3322x-8x+8-x-4x-4x+4()÷322x-6x+9x-x-6x的值.2、-212()+23-2.(sin21°13′-tan21°)0-sin30-2cos30cos60四、巩固练习:努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团4(1)填空1、有一棵树被风折断,折断部分与地面夹角为30°,树尖着地处与树根的距离是35米,则原树高是___m.解析:如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AC=35,∴AB==10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.答案:152.如图28-2-2-2,在离地面高度5m处引拉线固定电线杆,拉线与地面成60°角,则AC=______,AD=__________.(用根号表示)图28-2-2-2解析:在Rt△ABD中,∠A=60°,CD=5,∴AC=331060sinCD,AD=33560tanCD.答案:33103353、有人说,数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度(如图28-2-2-7),他测得CB=10米,∠ACB=50°,请你帮他算出树高AB,约为________________米.(注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)图28-2-2-7解析:AB=BC·tanC=12(米).答案:12(2)选择1.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,tanB=2,那么AC为()A.3B.4C.5D.6解析:AC=BC·tanB=6.答案:D2.如图28-2-2-1,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,CD=3,AD=BC,且cos∠ADC=53,则BD的长是()图28-2-2-1A.4B.3C.2D.1解析:求BD需求BC,而BC=AD,在Rt△ADC中,已知一角一边,可求出AD.在Rt△ADC中,CD=3,且cos∠ADC=53,∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2.答案:C3、如图28-2-2-6,两建筑物的水平距离为a米,从A点测得D点的俯角为α,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高度为()cosACA努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团5图28-2-2-6A.aB.atanαC.a(sinα-cosα)D.a(tanβ-tanα)解析:过D点作AB的垂线交AB于E点,在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,∴AE=a·tanα.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,∴AB=a·tanβ.∴CD=AB-AE=a·tanβ-a·tanα.答案:D(3)解答题1、如图28-2-3-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3,BD=32,求AB及∠B.图28-2-3-2解:过D点作DE⊥AB于E点,设AC=x,则AE=x.在Rt△BED中,得到BE=3,又由AB2=AC2+BC2,得(3+x)2=x2+27,解得x=3,AB=6,sinB=21,∴∠B=30°.2.某片绿地的形状如图28-2-2-8所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长.(精确到1m,3≈1.732)图28-2-2-8解:延长AD,交BC的延长线于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,AB=200m,∴BE=AB·tanA=3200(m).AE=2120060cosAB=400(m).在Rt△CDE中,∠CED=30°,CD=100m,∴DE=CD·cot∠CED=3100(m),CE=21100sinCEDCD=200m.∴AD=AE-DE=400-3100≈227(m),BC=BE-CE=3200-200≈146(m).3.如图28-2-2-9,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团6图28-2-2-9解:作三角形的高AD.在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=2,∴BD=630tanAD,AB=2230sinAD.∴CB=BD+CD=2+6.4.如图28-2-2-10,塔AB和楼CD的水平距离为80米,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.(精确到0.01米)(参考数据2=1.41421,3=1.73205)图28-2-2-10解:在Rt△ABD中,BD=80米,∠BDA=60°,∴AB=BD·tan60°=803≈138.56(米).Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°,∴AE=CE=80(米).∴CD=AB-AE≈58.56(米).答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.五、拓展训练6.如图28-2-2-11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向,前进6海里到B点,测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28-2-2-11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C作CD垂直AB的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD的长为x,则tan∠CBD=BDxBDCD,∴BD=33x.∴tan∠CAB=tan30°=xxADCD33633.∴x=33.∴x≈5.26.∴继续向东行驶,有触礁的危险.六、反思总结努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团7当堂过手训练(快练5分钟,稳准建奇功)1.等腰三角形的两条边长分别是4cm、9cm,则等腰三角形的底角的余弦值是()A.94B.45.4C.92D.93解析:根据构成三角形的条件,该等腰三角形的三边长为9、9、4,∴其底角的余弦值为92.答案:C2、有一大坝其横截面为一等腰梯形,它的上底为6m,下底为10m,高为32m,则坡角为_______.解:设坡角为α,则坡度=tanα=3)610(2132,∴坡角为60°.答案:60°3、计算:(1)2)160(sin+|1-tan60°|(2)sin302sin453tan30cos45cos604、如图28-2-2-3,已知在△ABC中,AB=4,AC=6,∠ABC=45°,求BC长及tanC.图28-2-2-3分析:作BC边上的高AD,构造直角三角形.在Rt△ADB中已知一角一边,可求得AD、BD,在Rt△ADC中由勾股定理求出CD.解:过点A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,∠B=45°,∵sinB=ABAD,∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22,∴BD=22.在Rt△ADC中,AC=6,由勾股定理得DC=72)22(62222ADAC,∴BC=BD+DC=7222,tanC=7147222DCAD.5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.(1)求sinα、cosα、tanα的值;(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.。ABCD努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团8