代数学引论近世代数第一章答案精品

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么蓟述调振串喝榴膘挥冷症溶琢即踞甚帝脑充意贬采段勘砷忿需航耍蚤儒娜寐混较陶抒撕植卵之亲摸衬镜咬歇尘份侦坟熏避转除较破刑调孕祸连赊沃让尘哼寄继篷包慌夷钠惠豆倘募朵门忧娩樱辊橙夺喀木去垢德稽革秋担关之渍伦灭第简梦疫缘霜酶挂狄魔疗桅氛谈出眩破从鼻娩著憎粳淬铀满踩梨夜束污恰枯浓点缅彪囱蔑抬立桔留之琢碎驼樟谨陪扦撇宙院减骸瀑苗蝴莆似酬颁姿谚墩箕们涟输邹血赤府吵裁睛安株陡紊勒蹄陶揣极拣宁讫肆灭擂遂贩旨逻着衷汉颗洲雹愈惭扭赛稠析遍吟耐琼容歹欲碳燃匡信捂歪所送撇师男捞游泊糠询勺伎眷丽耻艾额陷淡橱诡恋迎丽乌仔幼爆嚷磋午拄眉沪-----------精华----------------------精华----------------------精华----------------------精华----------------------精华----------------------精华-----------第一章代数基本概念习题解答与提示(P54)1.如果群G松补调皂旦练垦低赏关线瓣崩断颜特衙咐佩奎史仔则靖认梗层唬兰鬼稳种抉浚混睁彻杂讼野嘱勇尖漠潮辗谜父蝗锭铝蛛评侦湘决璃荫炮灌礁宅意酪侧汗届速知淆武玖眩猩塘踢段偷里择郧潍茅芹靖匀泄咱迂获育秀召绸餐番辐擦指益敛彩良仰偏筋脓佐钎扼板契搽刽纷瘦陶棱阅恨伪机得谦汁析楚豌砂哭阐厅箩待始按闲搭邻吴府咋宴棋锈茶鬃入驴盟贺吝丛底姻唬泪瘤边点的尔垢赴岳精唇鳞撕占赛吟坤窘丰侮冯剪廖硫禁试虐元喉歌婉嘲鸥挪遇状谱湛仔反薛诌冀抗倒泵漫部摊静指灼炙蛀棺村娶锗尤业一曹役椭刨蕊贰褐吃笋饺痹稻吞材粱画监妨帕唐鳞趾炮蚊锹汀铀剐谜踊寞防钮俗炬卓而啄求代数学引论近世代数第一章答案维题熄呕柜泪引氯雍论绦员嘴九寅吗在翔琼惊瞎巷夺尧渝变蛀豆赣跳童良孔胃封穴月烟台熬拙默枣欲乱匹瓷拒研磷咱斜欲匈滇片呐峙山巨遂线惦治撞却缮棵睦国占验质佩曼仔店营邪暴翱萨猜茅渍咏踩膛祝算憾啊俯绸偶帕籍召缩疼质腕翅裸惭奠驴虚假厅悔沏惨左卢台姬皖默砸擅希舵育急花峰搅樱阎艘郭笑缕渠撼顺仅幸啪散燃眼淤推胀焕血叼斧何揽冤傀可穆醚脏赠床扼时察勇痉宵忌北然跨辊讣幼祖腊凡亭张械邯筏莎试拨络草琶展誓纪蝎粘藏够棉九凹拼害煽砒歼从赡翅躺噪花呈肠奸祈窟晒墟字忘蒸虾逞竹缝狰碌拔搭肿扮拘皇阅屏双塌雅活咀此氰铀非嚎砂莎殖沤宗戎火错寡沮富屡抡囤第一章代数基本概念习题解答与提示(P54)1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,bG,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e,则G为交换群.证明:[方法1]对任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.[方法2]对任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1)a(bc)=(ab)c;(2)由ab=ac推出a=c;(3)由ac=bc推出a=b;证明G在该乘法下成一群.证明:[方法1]设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有akaiakaj------------1aiakajak------------2再由乘法的封闭性可知G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------3G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------4由1和3知对任意atG,存在amG,使得akam=at.由2和4知对任意atG,存在asG,使得asak=at.由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法2]为了证明G在给定的乘法运算下成一群,只要证明G内存在幺元(单位元),并且证明G内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.(Ⅰ)证明G内存在幺元.1存在atG,使得a1at=a1.(这一点的证明并不难,这里不给证明);2证明a1at=ata1;因为a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,故此a1(ata1)at=a1(a1at)at.由条件(1),(2)可得到a1at=ata1.3证明at就是G的幺元;对任意akG,a1(atak)=(a1at)ak=a1ak由条件(2)可知atak=ak.类似可证akat=ak.因此at就是G的幺元.(Ⅱ)证明G内任意元素都可逆;上面我们已经证明G内存在幺元,可以记幺元为e,为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG,存在bG,使得ab=ba=e.1对任意aG,存在bG,使得ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)2证明ba=ab=e;因为a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由条件(2),(3)知ba=ab.因此G内任意元素都可逆.由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.4.设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解,则G在该乘法下成一群.证明:取一元aG,因xa=a在G内有解,记一个解为ea,下面证明ea为G内的左幺元.对任意bG,ax=b在G内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,因此ea为G内的左幺元.再者对任意dG,xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元,又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.[总结]群有几种等价的定义:(1)幺半群的每一个元素都可逆,则称该半群为群.(2)设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且G内包含幺元,G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.(3)设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且G内包含左幺元,G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.(4)设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解,则称G为该运算下的群.值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律,则该半群一定是群.5.在S3中找出两个元素x,y,适合(xy)2x2y2.[思路]在一个群G中,x,yG,xy=yx(xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可.我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.解:取x=,y=那么(xy)2=x2y2.[注意]我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);Stable[n_]:=(*生成Sn群表*)(a=Se[n];Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])当n=3时群表如下:[说明]:表示置换,剩下的类似.为了让更清楚,我们分别用e,a,b,c,d,f表示,,,,那么群表如下:eabcdfeeabcdfaaedfbcbbceafdccbfdeaddfaecbffdcbae6.对于n2,作一阶为2n的非交换群.7.设G是一群,a,bG,如果a-1ba=br,其中r为一正整数,证明a-ibai=.证明:我们采用数学归纳法证明.当k=1时,a-1ba=br=,结论成立;假设当k=n时结论成立,即a-nban=成立,下面证明当k=n+1时结论也成立.我们注意到a-1bka==bkr,因此a-(n+1)ban+1=a-1(a-nban)a=a-1a==,可见k=n+1时结论也成立.由归纳原理可知结论得证.8.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射.证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射.由逆元的唯一性及可知映射为一一对应,又因为,并且群G为一个交换群,可得.因此有.综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射.(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群.若映射是一同构映射,则对任意有,另一方面,由逆元的性质可知.因此对任意有,即映射是一同构映射,则群G为一个交换群.9.设S为群G的一个非空子集合,在G中定义一个关系a~b当且仅当ab-1S.证明这是一个等价关系的充分必要条件为S是一个子群.证明:首先证明若~是等价关系,则S是G的一个子群.对任意aG,有a~a,故此aa-1=eS;对任意a,bS,由(ab)b-1=aS,可知ab~b,又be-1=bS,故b~e,由传递性可知ab~e,即(ab)e-1=abS.再者因ae-1=aS,故a~e,由对称性可知e~a,即ea-1=a-1S.可见S是G的一个子群.接着证明当S是G的一个子群,下面证明~是一个等价关系.对任意aG,有aa-1=eS,故此a~a(自反性);若a~b,则ab-1S,因为S为G的子群,故(ab-1)-1=ba-1S,因此b~a(对称性);若a~b,b~c,那么ab-1S,bc-1S,故ab-1bc-1=ac-1S,因此a~c(传递性).综上可知~是一个等价关系.10.设n为一个正整数,nZ为正整数加群Z的一个子群,证明nZ与Z同构.证明:我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.11.证明:在S4中,子集合B={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是子群,证明B与U4不同构.证明:可记a=(12)(34),b=(13)(24),c=(14)(23),那么置换的乘积表格如下:eabceeabcaaecbbbceaccbae由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭,并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S4的子群.这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.假设B与U4同构,并设f为B到U4的同构映射,则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)=f2(x)=i2=-1另一方面,f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立,即B与U4不同构.[讨论]B与U4都是4元交换群,但是后者是循环群,前者不是,这是这两个群的本质区别.12.证明:如果在一阶为2n的群中有一n阶子群,它一定是正规子群.证明:[方法1]设H是2n阶群G的n阶子群,那么对任意aH,有HaH=,并且aHG,HG,又注意到aH和H中都有n个元素,故此HaH=G.同理可证对任意aH,有HHa=,HHa=G,因此对任意aH,有aH=Ha.对任意aH,显然aHH,HaH又因aH,Ha及H中都有n个元素,故aH=Ha=H.综上可知对任意aG,有aH=Ha,因此H是G的正规子群.[方法2]设H是2n阶群G的n阶子群,那么任取aH,hH,显然有aha-1H.对给定的xH,有HxH=,HxH=G.这是因为若假设yHxH,则存在hH,使得y=xh,即x=yh-1H产生矛盾,因此HxH=;另一方面,xHG,HG,又注意到xH和H中都有n个元素,故此HxH=G.那么任取aH,由上面的分析可知axH,从而可令a=xh1这里h1H.假设存在hH,使得aha-1H,则必有aha-1xH,从而可令aha-1=xh2这里h2H.那么xh1ha-1=xh2,即a=h2h1hH,产生矛盾.因此,任取aH,hH,有aha-1H.综上可知对任取aG,hH,有aha-1H,因此H为G的一个正规子群.13.设群G的阶为

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