卡拉比猜想及其证明-冯晓华

《》3122012233—246StudiesintheHistoryofNaturalSciencesVol．31No．22012030006卡拉比猜想的证明，引出了许多重要结果，对于后来数学和物理的发展做出了基础性贡献。文章依据原始文献，详细考察了卡拉比提出猜想，丘成桐解决卡拉比猜想的工作;同时讨论了卡拉比猜想与凯勒-爱因斯坦度量的密切关系以及丘成桐和奥宾在这两个问题上的工作。卡拉比卡拉比猜想丘成桐奥宾凯勒-爱因斯坦度量N091∶O11A1000-0224(2012)[e-mail]1958。08BZX02008JC0010。CalabiConjecture。1954E．Calabi1923～1949～。。1。。。31976。26。《》6。1。23431、。-8。3《》。420。151950S．Bochner1899～1982-《》。61964H．Rademacher1892～19691967·1971～1973。719911994。、KhlerGe-ometryKhlerianGeometry。8。209。1953HolomorphicandIsometricEmbeddingsofKhlerManifolds10①。2。11。2050N．Wiener1894～1964。60。5。。60D．Struik1894～200012。5。13。1911～2004。①。2235ChernClassRicciCur-vature。。。①1.1KhlerManifold。。nn。14。。Mn是一个紧复流形，在其上允许具有主形式ω和里奇形式Σ的无限可微凯勒度量，如果Σ'是(1，1)型的任意闭实值无限可微形式，且上同调于Σ，那么存在唯一的一个凯勒度量，它具有主形式ω'，上同调于ω，且里奇形式与Σ'相等。这个度量总是无限可微的;如果Σ'是解析的，它也是实解析的。、。。。1。。01Σtωttωtt=－2Gtt()t。2。t/tωtω0。t/tΣ'－Σ①201193。23631ωtω0=ωΣt=Σ+tΣ'－Σt=1Σ'。t。ωttωtt。/t=Σ'－Σ0ωtωtωtωt-。。。n。。。。195448～10FineHallS．Lefschetz1884～197270、“”151957。。。。1.2195492～9《》16《》。5。MnΣgαβ*ωMnΩ2237ΩΣ112πC1。11Mn17。给定Mn中(1，1)型的任意实闭无穷次可微外形式Σ，且上同调于2πC(1)，那么在Ω中一定存在唯一的凯勒度量，它的里奇形式等于Σ。。ΩΣΩ。。MnΩΣΣMn。18。。。。3。2。6。2．11219。。1969～19702021。22。。。。。1954。2323831。2060J．Cheeger1943～D．Gromoll1938～200824。。1971～19729。21973StonyBrook3。R．Geroch。25。。。26。。。。2。26。2。。。。。2“”-。-。G．Monge1746～181818。27-3-、R．Schoen2239、L．Simon1945～。219766-。。。C．Morrey1907～1984。。28。。1978815～281829“”29。1982331～4234“”3。303-。-。6。1977131《》19775“”31。。。197767319785“-Ⅰ”32。2.2。。197751978524031。“”11M。。。11MMF0.1珘Ri珋j－Ri珋j=－2Fzizj。0.10.4detgi珋j+2φziz()jdetgs珋t－1=Cexp{}F。0.4Σijgi珋j+2φ/zizjdzidzj。0.4。0.40.40.4。0.4。0.40.4-0.6detgi珋j+2φziz()jdetgi珋j－1=s12h1+…+sp2hpt12k1+…+tq2kq－1×expFxφ{}0.40.6。0.6expφ+Fx{}0.60.4-。0.60.6。0.40.6。。。C=10.4φ。。1313φ。14φ。φ331958S=Σg'i珋rg'珋jsg'k珋tφi珋jkφ珋rs珋tφ。2241。φφ。0.4φ。0.6。4。0.6s2kexp{}F。2020。。0.6expFxφ{}。、。-。0.6s2kexpFxφ{}s12k1s2－2k2exp{}F。、。40.6-。0.40.6。。J．L．Ka-zdan。34。JussieuT．Aubin1942～2009。1977J．P．Bourguignon1947～。32、。、、、S．Kobayashi1932～、J．J．Kohn1932～、B．Lawson、L．Nirenberg1925～1943～。。。-24231。。、。7。。323-20707。1990200335。3631970《》37421976《-》3831976197839197633。1970expF-311976expcφ+F-31。1978197636333。A．B．Abdesselem36。。。3240139。-。1970-logMφ=－λφ+f。1976-。414243。44251-。2243。-。。4596～97-40139～15644251～288、A．L．Besse45318～339、A．Moroianu1971～461。--、。-。11。。44254～2552。-λ、、-。λ=0。41－1λ=－1。458、。-expcφ+F-。313、。-。《》-、。31《》-《-Ⅰ》5-。《》“”。4、。1976-。-。---------。45322～323。19799。45524431-。1976-、。。4748。1958～49—51。S．K．Donaldson1957～52—5455。①这个主题的文章能够写出来，要感谢很多人的帮助，他们给了我勇气、很多重要文献以及修改建议。谢谢您们:徐浩(HaoXu)、Chen-YuChi、Rui-FangSong和李逸(YiLi)博士，李文林研究员，丘成桐(Shing-TungYau)、季理真(Li-ZhenJi)、刘克峰(Ke-FengLiu)和陶布斯(C．Taubes)教授。1“”—J．2007322～27．2．—M∥．．2006.135～136．3．-J．2011468～77．4ScientistatWorkShing-TungYauTheEmperorofMathN．NYTIMES2006-10-22．5EugenioCalabiDB/OL．2010-10-12．http∥．worldlingo．com/ma/enwiki/en/Eugenio_Calabi/1．6EugenioCalabi．DB/OL．2010-10-12http∥genealogy．math．ndsu．nodak．edu/id．phpid=8111．7DepartmentChairs．DepartmentofMathematics．UniversityofPennsylvania．DB/OL．2010-10-25．http∥．math．upenn．edu/History/dept_chairs．html．8BourguignonJP．EugenioCalabiandKhlermetricsM∥ManifoldsandGeometryProceedingsoftheSymposiumonMathematics．CambridgeCambridgeUniv．Press1996．61～85．9．M∥．．2006．．10CalabiE．IsometricimbeddingsofcomplexmanifoldsJ．Ann．ofMath19535821～23．11BergerM．EncounterwithageometerEugenioCalabiM∥ManifoldsandGeometryProceedingsoftheSymposiumonMathematics．CambridgeCambridgeUniv．Press1996．20～60．12．、———D．J．J．2002272～76．13RotaGC．TenlessonsIwishhadbeentaughtJ．NoticesofAMS199744122～25．14ChernSS．CharacteristicclassesofHermitianmanifoldsJ．Ann．Math194647285～121．15CalabiE．OnKahlermanifoldswithvanishingcanonicalclassM．∥FoxRHSpencerDCTuckerAW．AlgebraicGeometryandTopologyaSymposiuminHonorofS．Lefschetz．PrincetonPrincetonUniversityPress1957.78～89．16CalabiE．ThespaceofKhlermetricsM．∥ErvenPNoordhoffNV．ProceedingsoftheInternationalCongressofMathematiciansAmsterdam1954．Vol．2．AmsterdamNorth-Holland1957．206～207．17JoyceDD．CompactManifoldswithSpecialHolonomyM．OxfordOxfordUniversityPress2004.98．18KobayashiS．HypersurfacesofcomplexprojectivespacewithconstantscalarcurvatureJJ．DifferentialGeometry①2011514。2245196713～4369～370．19OnthePhotoChernShiing-Shen．OberwolfachPhotoCollection．DB/OL．2010-11-02．http∥owpdb．mfo．de/de-tailphoto_id=7484．20YauST．CompactflatRiemannianmanifoldsJ．J．Diff．Geom197263395～402．21CalabiE．ClosedlocallyEuclidean4-dimensionalmanifoldsJ．Bull．Amer．Math．Soc1957632135．22．M∥．．2006.163．23．N．2011-01-10．24CheegerJGromollD．ThesplittingtheoremformanifoldsofnonnegativeRiccicurvatureJ．J．DifferentialGeometry197161119～128．25———“”N．2009-10-23．26YauST．Calabi-YauManifold．2009DB/OL．2010-11-07．http∥．scholarpedia．org/article/Calabi-Yau_mani-fold．27．M．2001．198．28．M∥．．2006.18．29YauST．TheroleofpartialdifferentialequationsindifferentialgeometryM∥OlliLehto．ProceedingsoftheInternation-alCongressofMathematicsHelsinki1978Vol．1．HelsinkiAcad．Scient．Fennica1980．237～250．30Connor．J．andRobertsonEF．YauBiography．DB/OL．2010-11-15http∥．mcs．st-and．ac．uk/Mathematicia