对数的概念教学设计

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1课题:3.2.1对数的概念(第1课时)一.教材分析对数这节课是苏教版必修1第3章对数函数第1课时.学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化,是学习对数函数的基础.二.学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质,对函数有了初步的认识.学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习,了解了研究函数的一般方法,经历过从特殊到一般,具体到抽象的研究过程.对数的概念对学生来说,是全新的,需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念.在教学过程中,力求让学生体会运用从特殊到一般,类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的内在联系,将对数这一新知纳入已有的知识结构中.三.教学目标1.理解对数的概念,会熟练地进行指数式与对数式的互化.2.学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性,在举例过程中理解对数.3.学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想,学会用相互联系的观点辩证地看问题.四.重点与难点1.重点:(1)对数的概念;(2)对数式与指数式的互化.2.难点:对数概念的理解.五.教学方法与教学手段问题教学法,启发式教学.六.教学过程1.创设情境建构概念某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%.(设该物质最初的质量为1)【问题1】你能就此情境提出一个问题吗?2[设计意图]通过学生熟悉的问题情境,让学生自主地提出问题,引发思考,体会这些问题之间的关联是指数式ab=N中已知两个量求第三个量.[教学过程]师:写好的同学请和同桌交流一下.师:你提的是什么问题呢?生:经过5年,这种物质的剩留量为原来的多少?师:是多少呢?生:0.845=N.师:有不同的问题吗?生:经过多少年,这种物质的剩留量为原来的一半?师:这个问题怎么解决呢?0.84x=12.师:同学们提出了很好的问题,这两个问题实际上都与我们学过的指数函数y=0.84x有关.第一个问题是已知指数x求幂y;第二个问题是已知幂y求指数x.如果底数是未知的,那么,我们还可以解决已知指数x和幂y求底数a的问题.[阶段小结]这些问题实际就是在研究ab=N(其中a>0且a≠1)中已知两个量求第三个量.我们可以研究以下三类问题:设ab=N.(1)已知a,b,求N;比如32=9,53=125,……(2)已知b,N,求a;比如a5=32a=2,a3=5a=35,……(3)已知a,N,求b.2b=2b=1,2b=4b=2,【问题2】2b=3,这样的指数b有没有呢?[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突,引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的,并且只有一个,进而想办法用数学符号表示指数b.[教学过程]3生:2b=3这个问题和指数函数y=2x有关,我们可以作出它的图象来观察.师:作出2x=3与y=3的图象,发现它们有交点,而且只有一个,那么指数b在哪里呢?生:交点的横坐标就是指数b.师:看来满足2b=3的指数b可由“2和3”唯一确定,但它究竟是个什么数呢?现在用我们学过的数又不能把它写出来,怎么办呢?生:用一个新的符号来表示它.师:是的,数学家也是这么想的,他们解决这种问题的办法就是引进一个新的符号,比如这里的a3=5,a等于什么呢?数学家就用a=35来表示,a是由3和5确定的,将3和5写在相应的位置.师:现在如何表示这里的指数b呢?指数b由2和3确定,数学家用log23来表示,读作以2为底3的对数,其中2为底数,写在下方,3叫真数.师:有了这个符号,就可以解决我们刚才的问题了,0.84x=12x=log0.8412.师:你能再举一些这样的对数吗?生:3b=10b=log310;4b=5b=log45;2b=7b=log27;……师:这里的1能用对数表示吗?生:1=log22.师:同样这里的2也可以表示为log24.对数b其实就是一个数.思考:根据这些具体的例子,你能得到一般情况下,对数是怎么表示的吗?对数的概念:如果a的b次幂等于N(其中a>0,a≠1),即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b.其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.数学史简介:对数是由17世纪苏格兰数学家纳皮尔发明的,有兴趣的同学可以查阅相关的数学史资料.师:根据对数的概念,我们不难发现,对数来源于指数,这两个等式表示的是a,b,N三个量之间的同一个关系,只是表现形式不同而已,比如在ab=N4中,a>0,a≠1,a叫底数,b叫指数,N叫幂,当变为对数式时,a的范围不变,a还叫底数,指数b现在叫对数,幂N现在叫真数.2.具体实例理解概念[学生活动]请每位同学写出2—3个对数,与同桌交流.[设计意图]深入理解对数.第一阶段,让学生体会对数可以转化为指数,对数式和指数式是等价的;第二阶段,认识特殊的对数,明确对数式中a,b,N的范围.[教学过程]师:大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看,有同学写了这样一个对数log327.你知道它是个什么样的数吗?师:为什么等于3呢?生:因为33=27.师:还有同学写了log139,这是个什么数啊?生:-2.师:为什么?生:因为(13)-2=9.师:想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了.师:我也写一个log926,这是个什么数呢?生:不知道.师:你知道它大概是多大吗?生:1到2之间.5师:你怎么知道的呢?生:因为91=9,92=81,26在9和81之间.师:你是将问题转化为指数问题来考虑的.我们知道对数就是一个数,可以设它为b,转化为9b=26就好理解了.[阶段小结]其实想要认识同学写的对数,只要将它转化为相应的指数式就明白了,指数式和对数式是可以等价转化的.师:看大家写的对数有大于0的,有小于0的,有没有等于0的对数呢?生:log21=0.师:还有吗?生:只要底数取a0,a≠1,真数为1的对数都等于0.师:怎么表示呢?生:loga1=0(a0,a≠1).师:为什么?生:因为a0=1(a0,a≠1).师:a0=1是个特殊的指数式,还有其他特殊的指数式吗?生:a1=a.师:由这个我们又能得到什么样的对数式呢?生:logaa=1(a0,a≠1).师:对数可正可负可为0,那对数是否能取到所有的实数呢?生:是的.师:你怎么知道的呢?生:从指数式ab=N(其中a>0且a≠1)中我们可以知道.师:对数b可以取到一切实数,底数a>0,a≠1,真数N应满足什么要求呢?生:大于0.生:在a>0且a≠1时,ab=N,根据指数函数的值域可知N只能取大于0的数.[阶段小结]通过讨论,我们认识了一些特殊的对数,知道对数b可以取到一切实数,但是真数N必须大于0.在认识对数的过程中,我们运用了对数式与指6数式之间的等价转化.3.概念应用方法总结练习求下列各式的值:(1)log264;(2)log101100;(3)log927.[设计意图](1)理解对数是个数,对数问题可以转化为指数问题来解决.(2)反思解题过程,从中得到两个对数性质logaab=b,alogaN=N(a>0且a≠1),为对数求值提供新的方法.(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣.(4)介绍常用对数和自然对数.[教学过程]师:回头看第1个问题的解决过程,log226=6,log1010-2=-2你有什么发现?师:一般情况下logaab=b对吗?生:对,因为ab=ab.师:在logaab=b这个式子中,真数N变成了ab,相当于将指数式ab=N带入对数式logaN=b,消去N.现在如果将对数式logaN=b带入指数式ab=N消去b,会得到什么呢?生:alogaN=N(a>0且a≠1).师:从第3小题中,你又会有什么发现呢?对数还有很多有趣的性质,有兴趣的同学可以继续研究.师:大家看第2小题底数是10,我们通常将以10为底的对数叫常用对数,简记为log10N=lgN.以后在高等数学和物理学中还会经常用到以e为底的对数,叫做自然对数,logeN=lnN.比如,lg2,ln3.【问题3】什么是对数?研究对数的基本方法是什么?[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法.主要让学生体会研究一个新的数学对象的一般方法,即生:对数就是一个数.遇到对数问题转化为指数问题来解决.师:很好,我们通过一些具体的例子得到了对数的概念,又通过举例和练7习进一步认识了对数,在认识的过程中,发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决.这两个式子是等价的,表示的是a,b,N这三个量之间的同一种关系.师:既然对数就是一个数,你觉得下面我们可以研究什么?生:对数的运算.师:那如何研究对数的运算性质呢?请同学们先回去思考,我们下节课再研究.4.课堂小结布置作业(1)课本P74练习第1、3、4、5题.(2)探究对数的运算性质.[设计意图]布置作业的面向全体学生,旨在掌握对数的概念,熟练对数式与指数式的互化.探究对数的运算性质给学生提供进一步自主研究对数的机会.七.教学设计说明对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。此前,学生已学习了指数及指数函数,明白了指数运算是已知底数和指数求幂值,而对数则是已知底数和幂值求指数,二者是互逆的关系.对数的概念的学习,既加深了学生对指数的理解,又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备,起到了承上启下的重要作用.对数概念的获得,应符合学生认知规律,教师不能直接抛出定义.教材所呈现的,是经过数学家整理过的数学知识,不一定完全符合学生的认知习惯,不可照本宣科.利用情境问题,教师引导学生提出问题,使学生产生认知冲突,从而认识到对数是有必要引进的一个重要的概念.教师引导学生举出类似的例子,归纳共同特征,获得对数概念.通过揭示对数式与指数式的关系,让学生体会到对数式与指数式的等价,从而体现了将对数问题与指数问题互相转化来解决的思想方法.进而将抽象的对数概念具体化特殊化,引导学生进一步认识对数.学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程,提出问题比解决问题更重要.教师应给学生提供由自己提出问题、选择研究方法的机会,逐渐学会研究问题,促进能力发展.学生尚未完全掌握学习一个新的数学概念的一般方法,在学8习过程中,教师应及时补充启发性提示语,帮助学生理解特殊化的意义,进行阶段性小结,以帮助学生明确研究一个新的数学对象的一般方法.对于能力较强的学生,可引导他们尝试证明归纳出来的性质,经历数学研究的完整过程.教学过程中,应充分发动学生,通过举例、说理、交流等活动,提供学生充分展示思维的机会.通过总结一般方法,促进学生体验由特殊到一般的思维过程.针对不同学生的需求布置分层作业,不仅能帮助学生进一步掌握本课知识,还能帮助学生形成研究新对象的一般步骤和方法.

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