必修四历年高考真题和一模二模题-

必修四历年高考真题和一模二模题-1/7第1页，共7页必修四历年高考真题及模拟题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共21小题，共105.0分）1.函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥2在[−𝜋,𝜋]的图象大致为()A.B.C.D.2.已知非零向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗满足|𝑎|=2|𝑏⃗|，且(𝑎−𝑏⃗)⊥𝑏⃗，则𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为()A.𝜋6B.𝜋3C.2𝜋3D.5𝜋63.关于函数𝑓(𝑥)=sin|𝑥|+|sin𝑥|有下述四个结论：①𝑓(𝑥)是偶函数②𝑓(𝑥)在区间(𝜋2,𝜋)单调递增③𝑓(𝑥)在[−𝜋,𝜋]有4个零点④𝑓(𝑥)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③4.下列函数中，以𝜋2为周期且在区间(𝜋4,𝜋2)单调递增的是()A.𝑓(𝑥)=|𝑐𝑜𝑠2𝑥|B.𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛2𝑥|C.𝑓(𝑥)=cos|𝑥|D.𝑓(𝑥)=sin|𝑥|5.已知𝛼∈(0,𝜋2)，2𝑠𝑖𝑛2𝛼=𝑐𝑜𝑠2𝛼+1，则𝑠𝑖𝑛𝛼=()A.15B.√55C.√33D.2√556.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,𝑡)，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=()A.−3B.−2C.2D.37.在△𝐴𝐵𝐶中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=()A.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗8.已知曲线𝐶1：𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝐶2：𝑦=sin(2𝑥+2𝜋3)，则下面结论正确的是()A.把𝐶1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移𝜋6个单位长度，得到曲线𝐶2B.把𝐶1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移𝜋12个单位长度，得到曲线𝐶2C.把𝐶1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移𝜋6个单位长度，得到曲线𝐶2D.把𝐶1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移𝜋12个单位长度，得到曲线𝐶29.若𝛼∈(𝜋2,𝜋)，则2𝑐𝑜𝑠2𝛼=sin(𝜋4−𝛼)，则𝑠𝑖𝑛2𝛼的值为()A.18B.−78C.1D.7810.已知向量𝑎=(2,2√3),𝑏⃗=(√3,1)，则向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗的夹角为()A.𝜋6B.𝜋3C.2𝜋3D.5𝜋611.已知角𝛼的终边上有一点𝑃(−√2,2)，则sin(2𝛼+3𝜋2)=()A.−13B.−79C.13D.7912.函数𝑓(𝑥)=(1−21−𝑒𝑥)cos𝑥的部分图象大致为()A.B.C.D.13.设𝑎⃗⃗，𝑏⃗是夹角为60°的单位向量，则|4𝑎−3𝑏⃗|=()A.6B.√37C.√13D.714.已知角𝛼的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角𝛼的终边按顺时针方向旋转𝜋6经过点(−3,4)，则𝑐𝑜𝑠𝛼=()A.3√3+410B.4−3√310C.3√3−410D.−3√3+41015.函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥的图象大致为()第2页，共7页A.B.C.D.16.△𝐴𝐵𝐶中，点D在边AB上，CD平分∠𝐴𝐶𝐵，若𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13𝑎+23𝑏⃗B.23𝑎+13𝑏⃗C.35𝑎+45𝑏⃗D.45𝑎+35𝑏⃗17.干支纪年历法(农历)，是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥3+𝑐𝑜𝑠3𝑥的最小正周期为()A.15𝜋B.12𝜋C.6𝜋D.3𝜋18.方程2(𝑥−1)𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥+1=0在区间[−2,4]内的所有解之和等于()A.4B.6C.8D.1019.已知向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗的夹角为60°，且|𝑎⃗⃗|=1，|2𝑎−𝑏⃗|=√3，则|𝑏⃗|=()A.1B.√2C.√3D.220.函数𝑓(𝑥)=2𝑥+12𝑥−1⋅𝑐𝑜𝑠𝑥的图象大致是()A.B.C.D.21.若函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)与𝑔(𝑥)=cos(𝑥+𝜋4)都在区间(𝑎,𝑏)(0𝑎𝑏𝜋)上单调递减，则𝑏−𝑎的最大值为()A.𝜋6B.𝜋3C.𝜋2D.5𝜋12二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）22.已知𝑎⃗⃗，𝑏⃗为单位向量，且𝑎⋅𝑏⃗=0，若𝑐=2𝑎−√5𝑏⃗，则cos𝑎⃗⃗，𝑐⃗=______．23.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D是BC的中点，E在边AB上，𝐵𝐸=2𝐸𝐴，AD与CE交于点𝑂.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=6𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐵𝐴𝐶的值是______．24.已知𝑡𝑎𝑛𝛼tan(𝛼+𝜋4)=−23，则sin(2𝛼+𝜋4)的值是______．25.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥，则𝑓(𝑥)的最小值是______．26.已知向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗的夹角为60°，|𝑎⃗⃗|=2，|𝑏⃗|=1，则|𝑎+2𝑏⃗|=______．27.已知函数𝑓(𝑥)=−𝜋2𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥，当𝑥∈[−4𝜋,4𝜋]且𝑥≠0时，方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)根的个数是______．28.已知向量𝑚⃗⃗=(−2,1),𝑛⃗=(4,𝑦)，若𝑚⃗⃗⃗⊥𝑛⃗⃗，则|2𝑚⃗⃗+𝑛⃗|=______．29.若平面向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗满足|𝑎+𝑏⃗|=1，𝑎+𝑏⃗平行于x轴，𝑏⃗=(2,−1)，则𝑎⃗⃗=______．必修四历年高考真题和一模二模题-3/7第3页，共7页答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由𝑓(𝑥)的解析式知𝑓(𝑥)为奇函数可排除A，然后计算𝑓(𝜋)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥2，𝑥∈[−𝜋,𝜋]，∴𝑓(−𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥cos(−𝑥)+𝑥2=−𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥2=−𝑓(𝑥)，∴𝑓(𝑥)为[−𝜋,𝜋]上的奇函数，因此排除A；又𝑓(𝜋)=𝑠𝑖𝑛𝜋+𝜋cos𝜋+𝜋2=𝜋−1+𝜋20，因此排除B，C，故选D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由(𝑎−𝑏⃗)⊥𝑏⃗，可得(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)⋅𝑏⃗=0，进一步得到|𝑎|⃗⃗⃗⃗⃗|𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗cos𝑎,𝑏⃗−𝑏⃗2=0，然后求出夹角即可．【解答】解：∵(𝑎−𝑏⃗)⊥𝑏⃗，∴(𝑎−𝑏⃗)⋅𝑏⃗=𝑎⋅𝑏⃗−𝑏⃗2=|𝑎|⃗⃗⃗⃗⃗|𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗cos𝑎,𝑏⃗−𝑏⃗2=0，∴cos𝑎,𝑏⃗=|𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗2|𝑎|⃗⃗⃗⃗⃗|𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗22|𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗2=12，∵𝑎,𝑏⃗∈[0,𝜋]，∴𝑎,𝑏⃗=𝜋3，故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：𝑓(−𝑥)=sin|−𝑥|+|sin(−𝑥)|=sin|𝑥|+|𝑠𝑖𝑛𝑥|=𝑓(𝑥)，则函数𝑓(𝑥)是偶函数，故①正确；当𝑥∈(𝜋2,𝜋)时，sin|𝑥|=𝑠𝑖𝑛𝑥，|𝑠𝑖𝑛𝑥|=𝑠𝑖𝑛𝑥，则𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑥为减函数，故②错误；当0≤𝑥≤𝜋时，𝑓(𝑥)=sin|𝑥|+|𝑠𝑖𝑛𝑥|=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑥，由𝑓(𝑥)=0，得2𝑠𝑖𝑛𝑥=0，即𝑥=0或𝑥=𝜋，由𝑓(𝑥)是偶函数，得在[−𝜋,0)上还有一个零点𝑥=−𝜋，即函数𝑓(𝑥)在[−𝜋,𝜋]有3个零点，故③错误；当sin|𝑥|=1，|𝑠𝑖𝑛𝑥|=1时，𝑓(𝑥)取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，属于基础题．根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，结合排除法即可求解．【解答】解：𝑓(𝑥)=sin|𝑥|不是周期函数，可排除D选项；𝑓(𝑥)=cos|𝑥|的周期为2𝜋，可排除C选项；𝑓(𝑥)=|sin2𝑥|在𝜋4处取得最大值，不可能在区间(𝜋4,𝜋2)上单调递增，可排除B．故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由二倍角公式化简已知条件可得4𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼，结合角的范围可求得𝑠𝑖𝑛𝛼0，𝑐𝑜𝑠𝛼0，可得𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼，根据同角三角函数基本关系式即可解得𝑠𝑖𝑛𝛼的值．【解答】解：∵2𝑠𝑖𝑛2𝛼=𝑐𝑜𝑠2𝛼+1，由二倍角公式可得4𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼，∵𝛼∈(0,𝜋2)，∴sin𝛼0，cos𝛼0，∴𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼，则有sin2𝛼+cos2𝛼=sin2𝛼+(2𝑠𝑖𝑛𝛼)2=5𝑠𝑖𝑛2𝛼=1，解得𝑠𝑖𝑛𝛼=√55．故选B．第4页，共7页6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的坐标表示，属于基础题．由𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗先求出𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，然后根据|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．【解答】解：∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,𝑡)，∴𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,𝑡−3)．∵|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1，∴𝑡−3=0，即𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2．故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的加减运算，考查运算能力，属于基础题．运用向量的加减运算，计算可得所求向量．【解答】解：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−12×12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗．故选A．8.【答案】D