导弹追踪问题

作业：1.设飞机在半径为a的圆周上以等速v运动，导弹从圆心出发追踪，当t=0时，飞机在(r,0)，导弹在圆心，若导弹速度也是v，而且圆心、导弹、飞机总是在一条直线上，证明当飞机飞行至(0,r)时，导弹正好追上它。证明：问题的分析与模型的假设由于导弹的速度和飞机的速度不断变化，飞机可能频繁地做爬升或者俯冲动作以规避导弹，导弹还要随时的调整角度，用从建立相应的数学方程并求解是很困难的。为简化问题，我们约定飞机只沿着X周向右作水平飞行，导弹与飞机始终处于同一个平面，而且各自保持匀速飞行状态。假设当飞机出现在（r，0）时，导弹从点（Xo，Yo）开始启动，追击飞机。飞机的速度为Va，导弹的速度为Vm（VmVa）。设t（t0）时刻导弹的坐标为（Xm，Ym），飞机的坐标为（Xa，Ya），导弹与飞机之间的距离为S。问题分析飞机初始位在点A(r,0)，方向为平行于y轴正方向，导弹的初始位在点B(0,0)，t=t（k）飞机的位置：飞机的位置：(r,a*t(k))导弹的位置：（xk,yk)追赶方向可用方向余弦表示为：1A1B2B3B4B2A3AAB导弹追击飞机的模拟追击路线(Xk,Yk)22)()1(1coskkkkkyatxx22)()1(sinkkkkkkyatxyat,1时ttttkk------(时间步长)到导弹的位置).,(11kkyx则,cos1kkkktbxxxkkkktbyyysin1第一步：设置时间步长t，速度a,b及初始位置0,0,000kyx第二步：计算动点导弹在时刻tttkk1时的坐标221)()1(1kkkkkkyatxxtbxx221)()1(kkkkkkyatxyattbyy计算飞机在时刻tttkk1时的坐标)~,~(11kkyx0~1kx)(~1ttaykk第三步：计算导弹与飞机这两个动点之间的距离：211211)~()~(kkkkkyyxxd根据事先给定的距离，判断导弹是否已经追上了飞机，从而判断退出循环还是让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环；第四步：当从上述循环退出后，由点列),(11kkyx和)~,~(11kkyx可分别绘制成两条曲线即为导弹和飞机走过的轨迹曲线。显示飞机与导弹行进路线的主程序：注：取m=1千米，a=1米/秒，b=5米/秒，m=1;a=1/60;b=5/60;d=0.01;dt=0.12;t=0;jstx=0;jsty=0;zscx=m;zscy=0;holdonaxis([0,3,0,0.3])while(sqrt((jstx-zscx)^2+(jsty-zscy)^2)d)t=t+dt;jstx=jstx+b*dt*(1-jstx)/sqrt((1-jstx)^2+(a*t-jsty)^2);jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt((1-jstx)^2+(a*t-jsty)^2);zscy=a*t;plot(jstx,jsty,'r+',zscx,zscy,'b*')pause(0.2)endjstx,jsty,zscx,zscy,tjstx=0.9985jsty=0.2090zscx=1zscy=0.2060t=12.3600通过不断的调整dt的数值计算结果及分析由于导弹和飞机的型号不同，其速度或者射程都有所不同，故在这里我们只取了一类数据作为实验数据，具体数据见计算结果图（其中距离的单位是m，速度的单位是m/s，时间的单位是s）1.模型的计算结果将计算结果通过坐标轴来表示出来，即可得到导弹追击飞机的大致轨迹，这样就可以方便研究人员对导弹的研究：导弹与飞机的轨迹-20000200040006000800010000120000100020003000400050006000700080009000XYY1Y22，计算结果分析（1）通过取大量不同的数据研究可知，当DT取的值越小，其轨迹描绘得越精确，但此时计算时间就要增加。（2）此方法对现在已研究出来的导弹、飞机有效，对以后开发出来的新型武器，。还有待取值、测试、分析和确定。由于时间问题，暂时不能确定该程序的具体有效范围，今后将致力于这方面的研究。（3）现实生活中，导弹的速度和飞机的速度是不断变化的，飞机可能频繁地做爬升或者俯冲动作以规避导弹，导弹还要随时的调整角度。而我们这个模型是建立在理想的条件下，从而能获得较简易的数学模型。