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粮仓效应的研究同组人：谭棋天金祖鑫刘畅1.引言法国科学家DeGennes在1991年诺贝尔物理学奖颁奖会上提出颗粒物质的概念。一般来说，颗粒物质的尺度范围在μm~104m之间。颗粒物质与传统的固、液、气三态都有联系，但又完全不同于其中任何一种。颗粒物质在工业生产和日常生活中都很常见，例如食盐、滑石粉末、沙、煤等在一定条件下都可视为颗粒物质。又如，当今世界对颗粒物质的传输和积累要消耗全球总能量的10%，地质灾害、食品制造等也都会涉及到颗粒物质的性质。由此可见颗粒物质的研究有很重要的意义。本实验探究颗粒体物质的一个典型现象：粮仓效应。1895年，Janssen发现，粮仓中的粮食堆得很高时，底部受到的力不再随添加物的增加而增大。本实验从此现象出发，研究圆柱形筒内堆积的颗粒体物质对筒底部的压力与其堆积高度关系。2.实验原理2.1粮仓效应的Janssen模型Janssen认为，颗粒体物质在圆柱形筒中堆积时，会形成类似拱形的结构。这种结构可以将竖直方向的力分散到筒壁上，这样大部分颗粒的重量将由筒壁来支撑，从而减小了颗粒物质对底面的压力。Janssen由此分析提出粮仓效应的Janssen模型，并推得如下Janssen公式：(/)1LzkRpzpe（1）gRkp（2）式中，z为颗粒堆高度，zp为颗粒堆高度为z时底面上的压强，p为颗粒堆高度无穷大时底面上的压强，R为圆柱筒半径，为颗粒物质的密度，g为重力加速度，L和k均为与颗粒物质及筒壁相关的常数。实验中只需研究底面上压力与颗粒堆积高度间的关系，故此实验中（1）式和（2）式可改写为1BzpzAe（3）其中，A和B均为常数。所以用非线性最小二乘拟合将实验数据按（3）式进行拟合，得到常数A、B，并作出拟合曲线。观察拟合曲线与原数据的吻合程度。2.2模型在实验中的实现本实验中，用坚硬而不易变形的石英管作为圆柱形筒壁，用电子秤的测量台作为圆柱容器的底面。图1给出了实验中仪器的组装结构。石英管由夹持工具来支撑，使得石英管的重量和由筒壁支撑的颗粒物质的重量脱离电子秤的支撑，这样，电子秤测量的就是圆柱容器底面承受的压力。在石英管和电子秤之间留有一很小的缝隙，以确保二者之间无相互作用。缝隙的宽度应足够小使得无颗粒物质泄漏或从缝隙中泄露出来的颗粒物质足以将缝隙封住。为了便于实验后收集颗粒物质和防止颗粒物质泄漏，在电子秤和石英管中间可加入一个桶状容器。这样只需在桶状容器放在电子秤上时将电子秤调零即可。颗粒物质的堆积高度可由贴在石英管上的刻度纸直接读得。图1实验仪器组装图2.3实验系统误差的产生及修正支架磁性表座铁磁性物质底座夹持工具石英管电子秤小空隙桶状容器本实验方法存在一定的缺陷。因石英管是由夹持工具通过支架来支撑，而夹持工具和支架难以实现很强的刚性，所以当石英管中装有颗粒物质时，颗粒物质作用在石英管上的摩擦力会使石英管出现轻微的下降（颗粒物质对此下降表现出明显的敏感性），从而使得石英管内的颗粒物质与石英管壁间的相互作用出现变化，导致本应该由石英管承担的颗粒物质的重量减小，底面承担压力增大，出现误差。而当夹持工具与筒状容器之间的小空隙比颗粒物质的线度显著大时，空隙中将被颗粒物质充满，石英管的轻微下降会直接增加底面上的压力。当漏斗固定在石英管上时，在添加颗粒物质时将会造成更加明显的压力传递现象，表现出压力的突变。实验中的修正方案是在测量每一组数据时，将一个有适当质量的物体（实验中选用塑料三角板）放在石英管顶端。测量此操作前后底面上压力的变化，即为因物体重力施加在石英管上而附加在底面上的力。由此数据并结合此物体的重力即可计算出石英管上承担的力传递到底面上的压力传递比。由此可以计算出底面压力的修正值。所加绿豆的质量与秤示数的差值为壁对绿豆的摩擦力，再乘以压力传递比即为摩擦力对秤示数的附加值，理想情况下的压力为秤的示数减去附加值。3.实验材料粗、细石英管各一支，电子秤一座，沙粒、味精、白砂糖、黄豆、绿豆各500g，磁性表座以及配套支架，夹持工具一个，塑料圆盒一个，纸质漏斗一个，塑料三角板一个，50mL烧杯一个。4.实验步骤4.1以黄豆作为颗粒物质（1）依照图1组装实验装置。石英管用粗石英管。先将筒状容器置于电子秤上，并调零。调整小缝隙时，先将石英管直立于筒状容器底面上，使得石英管直立并与底面完全贴合。将石英管用夹持工具固定，再通过调节电子秤底座旋钮将电子秤下降，使得筒状容器与石英管分离一很小距离，并使电子秤的示数为零。将一大约200克的物体置于石英管上，若电子秤的示数仍为零，则调整完毕；否则增大空隙直至示数为零。（2）向石英管中缓缓加入黄豆，每加到预置刻度处读一次电子秤读数。（3）实验结束后松开夹持工具，将石英管拿出，使黄豆落在筒状容器中，再回收到原容器中。4.2以沙粒作为颗粒物质4.2.1漏斗固定在石英管上（1）依照4.1中步骤（1）组装实验装置。石英管用粗管。缝隙应比4.1中更小一些。（2）将纸漏斗固定在石英管顶部，通过漏斗加沙子。因沙粒直径和粗石英管内径相差很大，故沙粒在粗石英管中堆积时表面有一定的起伏。从互成180°的方向观察堆积高度，分别在二者观察的高度为预定值时记录电子秤的示数F1和F2。（3）依照4.1中步骤（3）的操作回收沙子。4.2.2漏斗与石英管分离（1）依照4.1中步骤（1）组装实验装置。石英管用粗管。缝隙应比4.1中更小一些。（2）通过漏斗向石英管中加入沙子，漏斗应由外力支持，而不再架在石英管上。加沙子时移动漏斗口，使沙子均匀地洒在整个圆形平面内，从而使沙子平面平整。此时整个沙子平面的高度可以由沙子堆一个侧面的高度来确定。（3）依照4.1中步骤（3）的操作回收沙子。4.3以味精作为颗粒物质（1）依照4.1中步骤（1）组装实验装置。石英管用粗管。缝隙应比4.1中更小一些。（2）直接向石英管中倒入味精。依照4.2.2中步骤（2）的方法确定味精堆的高度。（3）依照4.1中步骤（3）的操作回收味精。4.4以白砂糖作为颗粒物质（1）依照4.1中步骤（1）组装实验装置。石英管用粗管。缝隙应比4.1中更小一些。（2）依照4.3中步骤（2）中方法加入白砂糖。（3）依照4.1中步骤（3）的操作回收白砂糖。4.5以绿豆作为颗粒物质，并依照2.3中方法将底面压力进行修正（1）依照4.1中步骤（1）组装实验装置。石英管用粗管。（2）向石英管中加入绿豆。每次加入绿豆时，用50mL烧杯量取30mL绿豆加入，即固定每次加入的绿豆质量。每加入一次绿豆，待电子秤示数稳定后记录电子秤上的压力；再将塑料三角板置于石英管上，记录电子秤上的压力；再将塑料三角板从石英管上拿下，记录电子秤上的压力。（3）测量塑料三角板的质量。（4）测量用烧杯量取的30mL绿豆的质量。可称量5次量取的绿豆的总质量求得其平均值。（5）依照4.1中步骤（3）的操作回收绿豆。4.6定性观察黄豆在细石英管中的堵塞现象往细石英管中加入一定量的黄豆，堵住两端开口来回振动。然后将管子竖起，松开位于下端的手让黄豆下落。观察是否能出现黄豆的堵塞现象。观察堵塞截面处黄豆的数量和位置关系。观察黄豆在整个细石英管中的排布方式，以及和堵塞位置的关系。5.数据处理5.1以黄豆作为颗粒物质实验中测得的黄豆堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据如表1所示：表1实验中测得的黄豆堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据h(cm)12345678910111213F(g)21.236.762.881.898.5113.8128.9141.7154.5160.8167.4173.3179.2由表1中数据，依照（3）式进行非线性最小二乘拟合，可得到拟合公式。拟合得到的（3）式中的参数为：A=253.6gB=0.0986cm-1由拟合公式得到的拟合曲线及原始数据点如图2所示：图2以黄豆作为颗粒物质时黄豆堆积高度h与圆柱容器底面压力F的关系（“+”为原始数据点，蓝色曲线为最小二乘拟合曲线）由图2可知，当以黄豆作为颗粒物质并以粗石英管作为圆柱形筒时，实验结果与Janssen模型吻合得很好。5.2以沙粒作为颗粒物质5.2.1漏斗固定在石英管上从互成180°方向观察的堆积高度为预定值时记录电子秤的示数分别为F1和F2，然后求平均值F作为此高度下的压力值。实验中测得的沙粒堆积高度h与对应的圆柱容器底面压力F的实验数据如表2所示：表2沙粒堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据（漏斗固定在石英管上）h(cm)11.522.533.544.55F1(g)59.482.285.891.197.2105.3109.2115.4121.2F2(g)59.483.287.092.399.4105.3109.5116.8121.8F(g)59.482.786.491.798.3105.3109.4116.1121.5h(cm)5.566.577.588.59F1(g)143.9145.2145.6146.7174.4177.3178.5179.1F2(g)144.0145.0145.7146.7174.4177.3178.6179.1F(g)144.0145.1145.6146.7174.4177.3178.6179.1由表2可作出数据点以及折线图如图3所示：图3以沙子作为颗粒物质时沙粒堆积高度h与圆柱容器底面压力F的关系（漏斗固定在石英管上；“〇”为原始数据点，蓝色为折线图）在图中我们可以看到，当高度为50mm和70mm时压力发生了两次跳跃性的变化，后经我们仔细观察，发现其原因是由于石英管与圆盒底部之间的空隙已被沙粒填满，而搭建的铁架台在加沙的过程中会产生微小形变，导致本应由铁架台承担的石英管重量以及沙粒在管壁产生的摩擦力变为由电子秤和铁架台共同承担。而当高度为50mm和70mm时，正好漏斗中的沙粒漏完，我们为漏斗中添加沙子时，因为漏斗是由石英管支撑，导致其瞬间增加的重量也部分分担到了电子秤上，从而出现两次较大幅度的示数跳跃。这也是本实验方案缺陷的一个体现。若补偿由加沙子造成的力的突变，可以看出整体还是遵循Janssen模型所预言的性质的。5.2.2漏斗与石英管分离此次试验将漏斗由外力支持，而不再架在石英管上。加沙子时均匀地洒在整个圆形平面内，以使得沙子平面平整。故可以用沙子侧面高度的一个数据来代替整个沙子平面的高度。实验中测得的沙粒堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据如表3所示：表3沙粒堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据h(cm)0.51.01.52.02.53.03.5F(g)47.557.466.475.785.997.0106.7h(cm)4.04.55.05.56.06.57.0F(g)114.0122.4128.7138.7145.0158.4164.4h(cm)7.58.08.59.09.510.010.5F(g)169.4173.7179.3180.4185.3192.3200.9h(cm)11.011.512.012.513.013.5F(g)203.4207.4213.7221.0227.7235.4由表3中数据可作出数据点以及插值曲线如图4所示：图4以沙子作为颗粒物质时沙粒堆积高度h与圆柱容器底面压力F的关系（“+”为原始数据点，红色曲线为插值曲线）由图4可知，此时沙粒堆积高度h与圆柱容器底面压力F的关系不满足（1）式，而是更加接近线性。分析原因可能为沙粒颗粒太细，形成粮仓效应所需的高度较高；或是要形成粮仓效应需沙子底部部分外泄才能形成拱形结构；或是由在2.3中所述的本实验方案本身的缺陷造成的，即由石英管承担的沙子重量因为夹持工具形变使得本应由石英管承担的重量仍然以一定比例传到了电子秤上，导致了线性增长的现象。5.3以味精作为颗粒物质实验中测得的味精堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据如表4所示：表4味精堆积高度h与对应圆柱容器底面压力F的实验数据h(cm)1.03.04.05.06.07.08.0F(g)28.157.469.380.491.199.3108.9h(cm)9.010.011.0