2021年新高考数学模拟试卷(20)

第1页（共20页）2021年新高考数学模拟试卷（20）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}2．（5分）已知复数𝑧=5+𝑖1−𝑖−𝑖，则z•𝑧=（）A．2√2B．8C．√13D．133．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）数列{Fn}：F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n＞2），最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》，若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，则数列{an}的前50项和为（）A．33B．34C．49D．505．（5分）若𝑎→，𝑏→，𝑐→满足，|𝑎→|=|𝑏→|=2|𝑐→|=2，则(𝑎→−𝑏→)⋅(𝑐→−𝑏→)的最大值为（）A．10B．12C．5√3D．6√26．（5分）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（）A．332B．1564C．532D．5167．（5分）过点P（3，5）作圆C：（x+2）2+y2＝10的切线，若切点为A，B，则直线AB的第2页（共20页）方程是（）A．x+y+2＝0B．x+y﹣2＝0C．x+y＝0D．x+y﹣3＝08．（5分）已知函数f（x）=1𝑥−x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5﹣0.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（a）＜f（b）＜f（c）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出现在9月C．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳10．（5分）已知点P是双曲线E：𝑥216−𝑦29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有（）A．点P的横坐标为203B．△PF1F2的周长为803C．∠F1PF2小于𝜋3D．△PF1F2的内切圆半径为3211．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法第3页（共20页）正确的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且𝐴1𝐸𝐸𝐹=3D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°12．（5分）关于函数f（x）＝ex+asinx，x∈（﹣π，+∞），下列说法正确的是（）A．当a＝1时，f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y+1＝0B．当a＝1时，f（x）存在唯一极小值点x0且﹣1＜f（x0）＜0C．对任意a＞0，f（x）在（﹣π，+∞）上均存在零点D．存在a＜0，f（x）在（﹣π，+∞）上有且只有一个零点三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知tanα＝﹣3，则cos2α＝．14．（5分）(√𝑥3−2𝑥)4的展开式中，常数项是．15．（5分）如图所示，三棱锥A﹣BCD的顶点A，B，C，D都在半径为√2同一球面上，△ABD与△BCD为直角三角形，△ABC是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．16．（5分）已知F为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，抛物线内一点A（1，p），M为抛物线上任意一点，|MA|+|MF|的最小值为3，则抛物线方程为；若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形APFQ的面积为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．第4页（共20页）（1）求A；（2）当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，，b2＝8，b1﹣3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列{1𝑆𝑛}的前k项和𝑇𝑛＞1516•若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中井作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，点E，F分别是AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，PA⊥PB，AC⊥BC，AB＝2BC，求平面EFG与平面PFG所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？第5页（共20页）不太了解比较了解男性女性（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同n（n∈N*）名男性调查员一起组成3个环保宣传队．若从这n+10人中随机取3人作为队长，且男性队长人数的期望ξ不小于2．求n的最小值．附：K2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，（n＝a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣cosx(𝑎∈𝑅，𝑥＞−𝜋2)．（1）证明：当a＝1时，f（x）有最小值，无最大值；（2）若在区间(−𝜋2，𝜋)上方程f（x）＝0恰有一个实数根，求a的取值范围，22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB=247，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G（−52，0），求证：A1，B，G三点共线．第6页（共20页）2021年新高考数学模拟试卷（20）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知复数𝑧=5+𝑖1−𝑖−𝑖，则z•𝑧=（）A．2√2B．8C．√13D．13【解答】解：∵𝑧=5+𝑖1−𝑖−𝑖=(5+𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)−𝑖=2+3i﹣i＝2+2i，∴z•𝑧=|𝑧|2=(2√2)2=8．故选：B．3．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）数列{Fn}：F1＝F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n＞2），最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》，若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，则数列{an}的前50项和为（）A．33B．34C．49D．50【解答】解：将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，则数列{an}的前50项和＝（1+1+0）×16+1+1＝34．第7页（共20页）故选：B．5．（5分）若𝑎→，𝑏→，𝑐→满足，|𝑎→|=|𝑏→|=2|𝑐→|=2，则(𝑎→−𝑏→)⋅(𝑐→−𝑏→)的最大值为（）A．10B．12C．5√3D．6√2【解答】解：𝑎→，𝑏→，𝑐→满足，|𝑎→|=|𝑏→|=2|𝑐→|=2，则(𝑎→−𝑏→)⋅(𝑐→−𝑏→)=𝑎→⋅𝑐→−𝑎→⋅𝑏→−𝑏→⋅𝑐→+𝑏→2=2cos＜𝑎→，𝑐→＞−4cos＜𝑎→，𝑏→＞−2cos＜𝑏→，𝑐→＞+4≤12，当且仅当𝑎→，𝑐→同向，𝑎→，𝑏→，反向，𝑏→，𝑐→反向时，取得最大值．故选：B．6．（5分）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（）A．332B．1564C．532D．516【解答】解：由题可知：小球落入③号球槽有C52=10种情况，小球落入下方球槽共有25＝32，∴小球最终落③号球槽的概率为1032=516．故选：D．7．（5分）过点P（3，5）作圆C：（x+2）2+y2＝10的切线，若切点为A，B，则直线AB的方程是（）A．x+y+2＝0B．x+y﹣2＝0C．x+y＝0D．x+y﹣3＝0第8页（共20页）【解答】解：以PC为直径做圆D，交圆C与A，B两点，∵点P（3，5），点C（﹣2，0），∴圆心D（12，52），半径为12|𝑃𝐶|=5√22，∴圆D的方程为：（x−12）2+（y−52）2=252①，又∵圆C：（x+2）2+y2＝10②，①﹣②得：x+y＝0，∴直线AB的方程为：x+y＝0．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=1𝑥−x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5﹣0.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解答】解：∵0＝log51＜log52＜log55＝1，𝑙𝑜𝑔0.50.2＞𝑙𝑜𝑔0.50．52=2，1＝0.50＜0.5﹣0.5＜0.5﹣1＝2，∴b＞c＞a＞