2020高一数学新教材必修1教案学案-4.3-对数解析版

14.3对数的运算2运用一指数对数的转化【例1】(1)根据对数定义，将下列指数式写成对数式：①3x＝127；②14x＝64③12x＝116；④512＝15.(2)根据对数定义，把下列对数式写成指数式：①loga1＝0(a0，a≠1)；②log1612＝－14；③ln10＝x.【答案】见解析【解析】(1)①log3127＝x；②log1464＝x；③log12116＝x；④log515＝－12.(2)①a0＝1(a0，a≠1)；②1614＝12；③ex＝10.【触类旁通】1.将下列指数式与对数式互化：(1)25＝32;(2)12－2＝4；(3)log381＝4;(4)log134＝m.【答案】见解析【解析】(1)log232＝5；(2)log124＝－2；(3)34＝81；(4)13m＝4.运用二对数式求值【例2】求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(3＋1)23－1＝x.【答案】（1）3（2）32（3）1【解析】(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)23－1＝23＋12＝3＋1，所以log(3＋1)23－1＝log(3＋1)(3＋1)＝1，所以x＝1.【触类旁通】1.求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.(3)log31－2x9＝1(4)log2015(x2－1)＝03【答案】（1）128（2）512（3）-13（4）±2【解析】(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.(3)∵log31－2x9＝1，∴1－2x9＝3.∴1－2x＝27，即x＝－13.(4)∵log2015(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±2.运用三对数化简【例3】求下列各式的值：(1)lg27＋lg8－lg1000lg1.2；(2)2log32－log3329＋log38－log5125；(3)log2748＋log212－12log242；(4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.（5）31＋log35－24＋log23＋103lg3＋12log25.【答案】（1）32（2）-1（3）－12（4）1（5）－295【解析】(1)原式＝12lg27＋lg23－12lg1000lg12－lg10＝32lg3＋3lg2－322lg2＋lg3－1＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)原式＝log27×1248×42＝log2212＝－12.(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.（5）31＋log35－24＋log23＋103lg3＋12log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－295.【触类旁通】1.计算、化简下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lg15；②2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.4③lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27.④lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6；⑤lg2＋lg3－lg10lg1.8.⑥9log32162)23(log；⑦2(lg5)lg2lg5lg2.⑧log28＋43＋log28－43；【答案】①4②1③115.④1⑤12⑥13；⑦1.⑧2【解析】①原式＝lg24×5315＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝lg4＋lg31＋lg0.36＋lg38＝lg121＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.③原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg34－3lg3＝115.④原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.⑤原式＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg18102lg1.8＝12.⑥因为23231log(32)log132，1642log9log3log32223，所以16log923log(32)213.⑦2(lg5)lg2lg5lg2lg5(lg5lg2)lg2lg(25)1.⑧原式＝log2[8＋438－43]＝log282－432＝log264－48＝log24＝2.运用四换底公式【例4】(1)式子log916·log881的值为()A．18B.118C.83D.38(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.56B.2512C.94D．以上都不对5【答案】(1)C(2)B【解析】(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·43log23＝83.(2)原式＝log33log34＋log33log38·log32＋log38log39＝12log32＋13log32·log32＋3log322＝56log32×52log32＝2512.【触类旁通】1.化简(log43＋log83)lg2lg3；【答案】56【解析】方法一原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＝lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56.方法二原式＝(log223＋log233)·log32＝12log23＋13log23·log32＝56log23·log32＝56.2.已知log1227＝a，求log616的值．【答案】43－a3＋a【解析】方法一由log1227＝a，得3lg32lg2＋lg3＝a，∴lg2＝3－a2alg3.∴log616＝lg16lg6＝4lg2lg2＋lg3＝4×3－a2a1＋3－a2a＝43－a3＋a.方法二由于log1227＝log1233＝3log123＝a，∴log123＝a3.于是log312＝3a，即1＋2log32＝3a.因此log32＝3－a2a.而log616＝4log62＝4log26＝41＋log23＝41＋1log32＝41＋2a3－a＝43－a3＋a.故log616＝43－a3＋a.3.已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.【答案】3＋ab1＋ab【解析】∵log23＝a，∴log37＝log27log23＝log27a＝b.∴log27＝ab.6∴log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab.4.(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求1a－1b的值；(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logabc的值．【答案】（1）1（2）±55【解析】(1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，即a·lg11.2＝3，于是1a＝13lg11.2.同理可得1b＝13lg0.0112.于是1a－1b＝13lg11.2－13lg0.0112＝13lg11.20.0112＝13lg1000＝13×3＝1.(2)由根与系数的关系可得logac＋logbc＝3，logac·logbc＝1，由换底公式可知1logca＋1logcb＝3，1logca·1logcb＝1.因此logca·logcb＝1，logca＋logcb＝3.所以logabc＝1logcab＝1logca－logcb＝1±logca＋logcb2－4logca·logcb＝±55.运用五指数对数的综合运用【例5】（1）已知711,log473ab，试用,ab表示49log48.（2）若26a＝33b＝62c，求证：1a＋2b＝3c.【答案】（1）492log482ba.（2）见解析【解析】（1）11lg3,73lg7aa.∵7log4,b∴lg4lg7b.则49lg48lg4lg32log48lg49lg72lg722abab.（2）证明设26a＝33b＝62c＝k(k＞0)，7那么6a＝log2k，3b＝log3k，2c＝log6k，∴1a＝6log2k＝6logk2，1b＝3log3k＝3logk3，1c＝2log6k＝2logk6.∴1a＋2b＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝3c，即1a＋2b＝3c.【触类旁通】1.已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则ba等于()A.1100B.110C．10D．100【答案】B【解析】由于lgba＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，∴ba＝10－1＝110，故选B.2.已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：2a＋1b＝2c.【证明】不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.则由换底公式可得1a＝logm3，1b＝logm4，1c＝logm6，于是2a＋1b＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝2c.3.已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.【证明】由已知可得m＝log210，n＝log510，因此1m＝lg2，1n＝lg5，于是1m＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即n＋mmn＝1，故m＋n＝mn.4．已知lg9＝a,10b＝5，用a，b表示log3645为________．【答案】a＋b2＋a－2b【解析】∵lg9＝a,10b＝5，∴lg5＝b，∴log3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg9＋lg4＝lg5＋lg9lg9＋2lg2＝lg5＋lg9lg9＋2lg105＝lg5＋lg9lg9＋21－lg5＝a＋ba＋21－b＝a＋b2＋a－2b.81．（2018·福建高一期中）若2x=3，则x等于（）A．log32B．lg2−lg3C．lg2lg3D．lg3lg2【答案】D【解析】由2x＝3，得x=𝑙𝑜𝑔23=𝑙𝑔3𝑙𝑔2．故选：D．2．（2019·肇庆市实验中学高三月考）若941log2x，则x（）A．23B．32C．23D．32【答案】A【解析】将对数式化为指数式可得1122942493x所以选A3．（2017·深圳市耀华实验学校高一期中）若lg2a，lg3b，则4log18＝（）A．23abaB．32abaC．22abaD．22aba【答案】D【解析】418223log18422lglglglglg.因为lg2a，lg3b，所以42log182aba.故选D.4．（2017·山西应县一中高一期中）643log[log(log81)]的值为（）．A．-1B．1C．0D．2【答案】C【解析】4643646log[log(log3)]log[log4]log10，选