2020高一数学新教材必修1教案学案-4.4-对数函数(第二课时)解析版

14.4对数函数性质（第二课时）思维导图2运用一定义域【例1】（2019·福建龙海二中高二期末（理））函数23()lg(31)1xfxxx的定义域是（）A．1,3B．1,13C．11,33D．[0,1)【答案】D【解析】由题意可得10lg310lg1310xxx，即10311xx，解得01x，因此，函数yfx的定义域为0,1，故选：D【触类旁通】1．（2019·浙江省富阳中学高二月考）函数2()lg2fxxx的定义域为（）A．(1,2)B．(,1)(2,)C．(2,1)D．(,2)(1,)【答案】C【解析】由题意得：220xx，解得：21x即fx定义域为：2,1本题正确选项：C2．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））函数0.5log(4)yx的定义域是（）A．[3,4)B．(,3]C．[3,)D．(,4]躬行实践【思路总结】具体函数的定义域的求解，求解原则如下：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数非负；（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为；（4）正切函数中，；（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.3【答案】A【解析】要使函数有意义，则0.5log(4)040xx，解得：34x；故答案选A3．（2019·新疆兵团第二师华山中学高二期中（文））函数2462fxxlogx的定义域是（）A．|3xxB．{|43}xxC．|4xxD．{|43}xx【答案】D【解析】由题意，函数2462fxxlogx有意义，满足40620xx，解得{|43}xx，即函数的定义域为{|43}xx，故选D．4．（2018·云南省玉溪第一中学高一期中）函数()2lg(31)fxxx的定义域是（）A．1,3B．12,3C．1,23D．(,2]【答案】C【解析】要使函数有意义，则20310xx，即213xx，∴123x，即函数的定义域为1,23，故选：C．【例1-2】已知函数2()lg3fxmxmxm的定义域为R，则实数m的取值范围为_____．【答案】120,5【解析】函数2()lg3fxmxmxm的定义域为R等价于对于任意的实数Rx，230mxmxm恒成立当0m时成立4当0m时，等价于20120()4(3)05mmmmm综上可得120,5【触类旁通】1．（2019·四川高二期末（文））函数23lg28fxkxkx的定义域为R，则实数k的取值范围是______．【答案】0,3【解析】由题意，函数23fxlg2kxkx8的定义域为R，所以关于x的不等式232kxkx08恒成立，k0时，不等式为308恒成立；k0时，应满足23k42k08，解得0k3，综上，实数k的取值范围是0,3．故答案为：0,3．运用二值域【例2-1】（1）（2019·广东深圳高中高考模拟（文））函数1ln1xfxx的值域为________.（2）（2019·河北武邑中学高一期中）若函数22,1()log,1xxfxxx.则函数()fx的值域是（）A．(,2)B．[0,)C．(,0)(0,2)D．(,2]【答案】（1）0，0，（2）A【解析】（1）1122lnlnln1111xxxxx2101x且2111x2ln101x5fx值域为：,00,本题正确结果：,00,（2）因为1x时，22x；1x时，2log0,x所以函数fx的值域是,2，故选A.【触类旁通】1．（2019·新疆兵团第二师华山中学高二月考（文））函数212log617yxx的值域是（）.A．RB．,3C．8,D．3,【答案】B【解析】22617380xxx恒成立，函数212log617yxx的定义域为R设22617388txxx由复合函数的单调性可知函数212log617yxx在定义域R上先增后减，函数取到最大值即：21122log617log83yxx函数的值域为,3故选B2．（2019·北京高考模拟（理））若函数22,1,()log,1,xxfxxx则函数()fx的值域是（）A．(,2)B．(,2]C．[0,)D．(,0)(0,2)【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为,2，故选A.6【例2-2】（2019·重庆一中高三月考（理））函数22()log(2)fxaxxa的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[1,)B．(0,1)C．[1,1]D．[0,1]（2）已知函数𝑓(𝑥)={(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎,𝑥11+log2𝑥,𝑥⩾1，若𝑓(𝑥)的值域为R，则实数a的取值范围是()A.(1,2]B.(－∞，2]C.(0,2]D.[2，＋∞)【答案】（1)D(2)A【解析】(1)若函数22log2fxaxxa的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0a≤1，综上知实数a的取值范围是0,1．故选D.(2)当x≥1时，𝑓(𝑥)＝1＋log2𝑥≥1；当x＜1时，𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎必须是增函数，且值域区间的右端点的值大于或等于1，才能满足𝑓(𝑥)的值域为R，可得{𝑎−10𝑎−1+4−2𝑎⩾1，解得a∈(1,2]．【触类旁通】1．已知f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，求a的取值范围．【答案】－1，12【解析】要使函数f(x)的值域为R，需使1－2a0，ln1≤1－2a＋3a，所以a12，a≥－1.所以－1≤a12.即a的取值范围为－1，12.运用三反函数【例3】（1）已知函数y=ex与函数y=f（x）互为反函数，则A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x0）C．f（2x）=2ex（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x0）7（2）若函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数𝑦=𝑎𝑥(𝑎0且𝑎≠1）的图象关于直线y=x对称，且f（2）=1，则f（x）=A．log2𝑥B．12𝑥C．log12𝑥D．2𝑥−2【答案】（1）D（2）A【解析】（1）由y=ex知𝑥=ln𝑦，所以其反函数为𝑦=ln𝑥，即𝑦=𝑓(𝑥)=ln𝑥，所以𝑓(2𝑥)=ln2𝑥=ln2+ln𝑥，故选D.（2）因为𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑎𝑥(𝑎0且𝑎≠1）图象关于直线𝑦=𝑥对称，所以𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑎𝑥(𝑎0且𝑎≠1）互为反函数，所以𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥，由f（2）=1知，log𝑎2=1即2=𝑎1，∴    𝑎=2，𝑓(𝑥)=log2𝑥，故选A.【触类旁通】1已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，如果当x0时，f（x）=(13)𝑥，且f–1（x）是f（x）的反函数，那么f–1（–9）A．3B．–3C．2D．–2【答案】C【解析】令(13)𝑥=9解得𝑥=−2，∴      𝑓−1(9)=−2∵f（x）是定义在R上的奇函数∴      函数𝑓−1(𝑥)也是奇函数则𝑓−1(−9)=−𝑓−1(9)=2，故选C.运用四综合运用【例4】（2019·北京一零一中学双榆树校区高一期末）已知函数()fx=log(1)ax+log(3)ax，其中a0且a≠1。（1）求函数()fx的定义域；（2）若函数()fx有最小值而无最大值，求()fx的单调增区间。【答案】（1）3,1；（2）[﹣1，1）.【解析】（1）要使函数有意义，则1030xx＞＞，得13xx＜＞，得﹣3＜x＜1，即函数的定义域为（﹣3，1），8（2）f（x）＝loga（1﹣x）+loga（x+3）＝loga（1﹣x）（x+3）＝loga（﹣x2﹣2x+3）＝loga（﹣（x+1）2+4），设t＝﹣（x+1）2+4，当﹣3＜x＜1时，0＜t≤4，若函数f（x）有最小值而无最大值，则函数y=logat为减函数，则0＜a＜1，要求f（x）的单调增区间，则等价于求t＝﹣（x+1）2+4，在﹣3＜x＜1时的减区间，∵t＝﹣（x+1）2+4的单调递减区间为[﹣1，1），∴f（x）的单调递增区间为[﹣1，1）．【触类旁通】1.（2019·辽宁期末（理））已知函数()ln(3)ln(3)fxxx.（1）求函数()yfx的定义域并判断奇偶性；（2）若(21)()fmfm，求实数m的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）113m或12m.【解析】（1）由3030xx得33x,所以fx的定义域为3,3，又因为ln3ln3fxxxfx，所以fx偶函数.（2）因为2ln3ln3ln9fxxxx所以fx是[0，3）上的减函数,又fx是偶函数.故32133321mmmm解得113m或12m.2．已知函数2()(22)logafxaax是对数函数．（1）若函数()log(1)log(3)aagxxx，讨论函数()gx的单调性；（2）在（1）的条件下，若1[,2]3x，不等式()30gxm的解集非空，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,)．【解析】（1）由题意可知222101aaaa且，解得3a（负值舍去），所以3logfxx．因为log1log3aagxxx，所以1030xx，即13xx，即13x，9故gx的定义域为|13xx．由于2333log1log3log23gxxxxx，令223(13)uxxxx，则由对称轴1x可知，ux在1,1上单调递增，在1,3上单调递减；因为3logyu在0,上单调递增，所以函数gx的单调递增区间为1,1，单调递减区间为1,3．（2）因为不等式30gxm的解集非空，所以min13,,23mgxx，由（1）知，当1,23x时，函数gx的单调递增区间为1,13，单调递减区间为1,2，因为3132log,2139gg，所以min1gx，所以31m，即4m，故实数m的取值范围为4,．1．（2018·福建高一期中）若f（x）=1𝑙𝑜𝑔2(2𝑥−1)，则f（x）的定义域为（）A.(12,1)B.(12,2)C.(12,+∞)D.(12,1)∪(1,+∞)【答案】D【解析】由{2𝑥−1＞02𝑥−1≠1，得x＞12且x≠1．∴f（x）的定义域为（12，1）∪（1，+∞）．故选：D．2．（2019·福建高一期中）若f（x）=1𝑙𝑜𝑔2(2𝑥