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第3节从自由落体到匀变速直线运动知识点一匀变速直线运动的规律目标篇预习篇考点篇栏目链接1.速度和时间的关系：（1）推导：由加速度的定义式，得a＝vt－v0t，得vt＝v0＋at.（2）公式的理解：①公式中的物理量v0、vt、a都是矢量，可用正负来表示，一般选v0的方向为正方向，物体做加速运动时，a0；物体做减速运动时，a0，vt0，物体运动方向与初速度相同.②若v0＝0，则速度公式为vt＝at，这时瞬时速度与时间成正比.（3）速度－时间图象.①匀变速直线运动的速度－时间图象是一条倾斜的直线，如图所示.②图象在v轴上的截距为初速度v0.③当v0＝0时，图线为过原点的一条直线.④由图线可求出任意时刻的速度和达到某速度的时间.⑤图线的斜率表示物体的加速度.⑥速度图线与两坐标围成的图形的“面积”，在数值上等于物体在该段时间通过的位移的大小.2.位移和时间的关系：（1）推导：由s＝v－t；v－＝v0＋vt2，vt＝v0＋at.可求出：s＝v0t＋12at2.（2）对公式的理解：①公式中，s＝v0t＋12at2中，s、v0、a都是矢量，注意各量的方向（正、负号），公式只适用于匀变速直线运动.②对于推导过程中s＝v－t对于任何形式的运动都适用，而s＝v0t＋12at2只适用于匀变速直线运动.③特别注意公式中的s是位移，而不是路程.④对匀减速直线运动，公式可写为s＝v0t－12at2，式中的a是加速度的数值.（3）匀变速直线运动的位移—时间图象.①公式s＝v0t＋12at2中，位移s是时间t的二次函数，它的图象是一条抛物线，如图所示.②由图线可知物体在某一段时间所发生的位移和发生这段位移所用的时间.3.匀变速直线运动的速度图象与速度公式比较.（如图所示）图线①对应的速度公式为vt＝v0＋at，即初速度不为零的匀加速直线运动.图线②对应的速度公式为vt＝v0＋at，（a0）即匀减速直线运动.图线③对应的速度公式vt＝at，（a0）即初速度为零的匀加速直线运动.图线④对应的速度公式vt＝at，（a0）即初速度为零，运动方向与选定的方向相反的匀加速直线运动.►尝试应用1.在公式vt＝v0＋at和s＝v0t＋12at2中涉及五个物理量，除t是标量外，其他四个量vt、v0、a、s都是矢量.在直线运动中这四个矢量的方向都在一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时，其他三个量的方向与此相同的取正值，与此相反的取负值.若取初速度方向为正方向，以下说法正确的是（A）A.匀加速直线运动中a取正值B.匀加速直线运动中a取负值C.匀减速直线运动中a取正值D.无论匀加速还是匀减速a都取正值知识点二两个有用的推论目标篇预习篇考点篇栏目链接1.速度—位移公式：（1）推导：由vt＝v0＋at，s＝v0t＋12at2，联立求解可得v2t－v20＝2as.（2）公式的理解.①匀变速直线运动的速度位移公式中vt、v0、a、s都是矢量，需注意正负号.②若物体做匀加速直线运动，a为正值；若物体做匀减速直线运动，a为负值（也可写成v2t－v20＝－2as，此时a为正值）.（以初速度方向为正方向）2.位移与初、末速度及时间的关系：（1）推导：由s＝v－t及v－＝v0＋vt2得s＝v0＋vt2·t.（2）上式中求位移不需考虑物体的加速度，由物体的初、末速度及运动时间，即可求出位移.►尝试应用2.物体沿某方向做匀加速直线运动，某时刻速度大小为5.0m/s，经2.0s速度大小变为11.0m/s，则物体在这2.0s内的位移大小为（C）A.8mB.12mC.16mD.32m解析：利用公式s＝v0＋vt2t＝5＋112×2m＝16m，C选项正确.知识点三几个特殊的结论目标篇预习篇考点篇栏目链接1.三个常用的结论：（1）一个特征：匀变速直线运动的物体在任意连续相等时间内的位移差相等，且等于加速度与这段时间的平方的乘积，即sn－sn－1＝aT2.（2）两个中点公式：①一段时间，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，也等于这段时间的初、末速度的算术平均值，即vt2＝v－＝v0＋vt2.②一段位移，中间位置处的速度等于通过这段位移初、末速度平方和的一半的平方根，即vs2＝v20＋v2t2.2.对初速度为零的匀加速直线运动，有以下的比例式：（1）前ns内的末速度之比：由速度公式vt＝v0＋at及v0＝0可得vt＝at，即vt与时间成正比，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.（2）前ns内位移之比：由s＝v0t＋12at2及v0＝0可得s＝12at2，即s与时间的二次方成正比，所以有s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2.注意：前ns内的位移，是指从t＝0开始的ns内的位移.如前4s内的位移是指0～4s这段时间内的位移，注意与第4s内的位移的区别.（3）第ns内的位移之比：s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）.这里的第ns内位移是指第ns内发生的位移，它等于前ns的位移与前（n－1）s内的位移之差，即sn′＝sn－sn－1.注意：上述三个比例式中的时间不一定取1s，可以是任意相等的时间间隔.（4）通过连续相等的位移所用的时间之比.t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶（2－1）∶（3－2）∶…∶（n－n－1）.3.处理纸带问题两个有用的结论：（1）纸带上某一点的瞬时速度公式：vn＝sn＋sn＋1T2，n＝1，2，3，….（2）纸带运动的加速度计算公式：a＝ΔsT2或a＝sn＋1－snT2，n＝1，2，3，….4.对末速度为零的匀减速直线运动可采用逆向思维，视为反向的初速度为零的匀加速直线运动.►尝试应用3.（多选）一个质点做匀加速直线运动，第3s内的位移是2m，第4s内的位移是2.5m，则下列说法正确的是（AD）A.这2s内平均速度是2.25m/sB.第3s末瞬时速度是2.25m/sC.质点的加速度是0.125m/s2D.质点的加速度是0.5m/s2解析：由加速度的计算式a＝ΔsT2＝2.5－212m/s2＝0.5m/s2，2s内的平均速度v－＝st＝2＋2.52m/s＝2.25m/s，初速度未知，末速度不能确定，AD选项正确.题型一对匀速直线运动的规律的理解目标篇预习篇考点篇栏目链接例1一辆汽车在高速路上以30m/s的速度匀速行驶，由于前方出现险情，司机紧急刹车，刹车时加速度的大小为5m/s2.求：（1）汽车刹车后20s内滑行的距离为多少？（2）从开始刹车到汽车滑行50m所经历的时间为多少？（3）在汽车停止前3s内汽车滑行的距离为多少？解析：（1）汽车刹车过程速度为零时的位移最大，即vt＝0，则刹车过程的运动时间t，t＝vt－v0a＝0－30－5s＝6s，由位移公式s＝v0＋vt2t＝30＋02×6m＝90m.汽车刹车后20s的位移为90m.（2）由位移公式得s＝v0t－12at2得：50＝30×t－12×5×t2，解方程得t1＝2s，t2＝10s，t2＝10s6s，不合题意舍去，所以汽车经历的时间为2s.（3）汽车停车前3s的运动可看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动，其位移为：s＝12at2＝12×5×32m＝22.5m.名师点睛：①匀变速直线运动的公式中涉及的矢量要参考选定的正方向确定正负.②对刹车问题，要注意其末速度为零，汽车运动的时间为由初速度减少为零的时间.►变式训练1.一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5s时间，汽车的加速度为2m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为（D）A.2m/sB.10m/sC.2.5m/sD.5m/s题型二匀变速直线运动的重要推论的应用目标篇预习篇考点篇栏目链接例2子弹用2×10－4s的时间穿过一木板，穿入木板的速度是800m/s，穿出木板的速度是300m/s.（1）子弹穿过木板时加速度是多大？（2）木板的厚度是多少？（3）如子弹打入一块同样质地的厚木板，子弹能打入多深？解析：规定初速度的方向为正方向.（1）a＝vt－v0t＝300－8002×10－4m/s2＝－2.5×106m/s2，负号表示与初速度方向相反；（2）d＝v－t＝v0＋vt2t＝300＋8002×2×10－4m＝0.11m[另解：d＝v2t－v202a＝3002－80022×（－2.5×106）m＝0.11m]；（3）dmax＝0－v202a＝－80022×（－2.5×106）m＝0.128m.答案：（1）－2.5×106m/s2（2）0.11m（3）0.128m名师点睛：匀变速直线运动的公式较多，根据实际情况选择适当的公式解题，会大大简化解题过程.如本例中的第2问，已知物体的初、末速度及时间，不涉及加速度，用s＝v0＋vt2t式求位移较简便；若已知物体的初、末速及加速度，不涉及时间，则用v2t－v20＝2as式求位移较简便.►变式训练2.一辆汽车在笔直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色交通信号灯便踩下制动器，此后汽车开始减速，设汽车做匀减速运动的加速度为5m/s2.（1）从开始制动到完全停止，汽车行驶了多少距离？（2）从开始制动到完全停止，汽车行驶了多少时间？（3）汽车开始制动8s行驶的位移？解析：（1）v0＝72km/h＝20m/svt＝0，由v2t－v20＝2as得s＝v2t－v202a＝0－202－2×5m＝40m.（2）由vt＝v0＋at得t＝vt－v0a＝0－20－5s＝4s.（3）汽车开始制动后4s停下，所以8s的位移等于4s的位移，即40m.答案：（1）40m（2）4s（3）40m知识点三匀变速直线运动的有关比例的运动目标篇预习篇考点篇栏目链接例2子弹用2×10－4s的时间穿过一木板，穿入木板的速度是800m/s，穿出木板的速度是300m/s.（1）子弹穿过木板时加速度是多大？（2）木板的厚度是多少？（3）如子弹打入一块同样质地的厚木板，子弹能打入多深？例3如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则sAB∶sBC等于（）A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析：由v＝at，vB＝v，vC＝2v可知，tAB＝tBC，又vA＝0，故sAB∶sBC＝1∶3.C正确.答案：C名师点睛：①物体做初速为零的匀变速直线运动时，可灵活运用比例关系来处理有关问题，如初速度为零时，连续相等时间相邻位移之比为奇数之比等.②上述相等时间间隔的比例关系同样适用任意相等的时间间隔.►变式训练3.屋檐定时滴出水滴，水滴的运动可看作是从屋檐开始做初速度为零的自由落体运动.当第5滴水正欲滴下时，第1滴水滴已刚好到达地面，而第3滴水滴与第2滴水滴正分别位于高为1米的窗户的上下沿，如图所示.若取g＝10m/s2，则此屋檐离地面高度为m，滴水的时间间隔是s.解析：设屋檐每隔一段时间T滴下一滴水滴，当第5滴水滴正欲滴下时，第1滴水滴已刚好到达地面，即恰好滴下了四滴水，这时5滴水滴的位置相当于某一打点计时器在纸带上打出的点，且打点周期为T.设第1滴水滴至第4滴水滴距屋檐（即第5滴水滴的位置）的距离分别为x1、x2、x3和x4，则x2－x3＝1m.根据初速度为零的匀加速直线运动规律有x1∶x2∶x3∶x4＝16∶9∶4∶1，解得x1＝3.2m.第1滴水滴刚好落地到达地面所需的时间为t＝2x1g＝0.8s.滴第5滴水滴时，刚好滴下了四滴水滴，故滴水的时间间隔T＝t4＝0.2s.答案：3.20.2