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2018-2019学年安徽省合肥市七中、合肥十中联考高三（上）期中数学模拟试卷（理科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.已知全集，集合，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用补集的定义求解即可.【详解】已知全集，集合，则.故选D.【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.2.（2018年天津卷）设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用函数的奇偶性和单调性进行判断【详解】对于A．函数是奇函数，不满足条件．对于B．函数的偶函数，当时，是减函数，满足条件．对于C．函数，定义域为，，不是偶函数，不满足条件．对于D．函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求掌握常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键4.已知，则的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5.由曲线，直线及轴所围成的曲边四边形的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，由和，解得交点坐标为，所以围成的封闭图形的面积，故选D．考点：定积分求解曲边形的面积．6.已知函数,满足和是偶函数,且,设,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），则F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=，故选：B．点睛：y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，说明函数y＝f（x）即关于对称，又关于对称，所以函数y＝f（x）的周期为,（轴间距的二倍）.7.设定义在上的偶函数满足：对任意，都有，时，若，，，则三者的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得函数的最小正周期为2，化简，求得在的导数，可得单调性，即可得到所求大小关系【详解】定义在上的偶函数满足对任意，都有，可得，即为，函数的最小正周期为2，若，，，时，导数为，当时，，递增，由，可得，即为，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、周期性的判断和运用：比较大小，考查化简整理的运算能力，属于中档题8.已知函数，，，若，且，则的单调递增区间为（）A.B.．C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出三角函数的周期，再由求出的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间【详解】设的周期为，由，，，得，由，得，即，又，∴，．由，得．∴的单调递增区间为．故选：B．【点睛】本题主要考查利用的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题9.如果函数存在极值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由可得,因为函数存在极值,所以由两个不同的解，所以，即实数的取值范围是，故选C.10.设，则使得的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（ex﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，则有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．11.已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）＞0，求得a的取值范围．详解：设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，则g′（x）=ex（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴x=﹣，取最小值﹣3，∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，因为直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a≤0，∴a≤，g（﹣2）=，h（﹣2）=﹣3a，由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得a≥.综上所述，的取值范围为.故选B.点睛：本题的关键是转化，将数的关系转化为存在2个整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，再利用数形结合分析找到关于a的不等式组.12.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．【详解】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选：A.【点睛】本题主要考查函数不等式的求解，利用分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.已知，，则__________．【答案】1【解析】【分析】将题干中的两式平方相加得到，再由两角和的正弦公式得到结果.【详解】,相加得,.故答案为：1.【点睛】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化;2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.14.二项式的展开式中常数项为_____________（用数字表达）【答案】-160【解析】二项式的展开式的通项为，．令，可得，即展开式中常数项为．答案：15.已知函数在上恰好有两个零点，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可【详解】，令，解得：或，令，解得：，故在递减，在递增，若在上恰好有两个零点，则，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道综合题16.设函数是单调函数．①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】①先判断当时的单调性以及函数的最值，即可求出的范围，②先根据函数的值域为，求出，再根据导数和几何意义即可求出的范围【详解】①当时，，则恒成立，故在上单调递增，，当时，，由于在上单调递增，故也为单调递增函数，且恒成立，∴，故的范围为，②由①可得当时，，∵的值域是，∴当时，，∴，∵方程没有实根，当与相切时，设切点为∵，∴，，∴，∴∴故的取值范围为，故答案为：，【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及导数的几何意义，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三．解答题（共6小题，满分70分）17.已知命题：关于的方程有实根；：关于的函数在上是增函数．（1）分别用实数的取值范围表示命题．（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1)根据命题为真命题的等价条件进行求解即可(2)根据复合命题真假关系进行求解，讨论真假和假真两种情况【详解】（1）对于命题，由，解得．对于命题，由抛物线得对称轴，解．（2）由题设，得两命题一真一假．当真假时，无解；当假真时，或．综上，的取值范围为．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为ac，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.设函数（且）是定义域为的奇函数.（1）若，试求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-2【解析】【分析】首先利用奇函数求得的值.（1）根据求得，由此求得函数是单调递增函数，再根据函数的奇偶性和单调性求得不等式的解集.（2）利用求得的值.由此求得函数的解析式.在利用换元法以及配方法求得函数在给定区间上的最小值.【详解】∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.(1)∵f(1)0，∴a－0，又a0且a≠1，∴a1.∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，当a1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，∴f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)f(4－x)，∴x2＋2x4－x，即x2＋3x－40，∴x1或x－4，∴不等式的解集为{x|x1或x－4}．(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.∴a＝2或a＝－(舍去)，∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2，令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2.∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝，即t≥，g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈.∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝log2(1＋)，故当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.【点睛】本小题主要考查函数