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2016-2017学年高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列{an}中，如果an=3n（n=1，2，3，…），那么这个数列是（）A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列C．首项为3的等比数列D．首项为1的等比数列2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．3．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（）A．3B．4C．5D．64．在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）6．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．7．已知数列{an}的前n项和Sn=，则a4=（）A．B．C．1D．8．不等式≥2的解集为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）9．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5B．3C．7D．﹣810．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4C．9D．1811．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．8312．f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤0B．a＜﹣4C．﹣4＜a＜0D．﹣4＜a≤0二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡相应横线上.13．已知等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，则a3=．14．在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=．15．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=．16．设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，A=120°，a=，S△ABC=，求b，c．18．（12分）在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）﹣=0，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．19．（12分）已知等比数列{an}中，，求其第4项及前5项和．20．（12分）设{an}为等差数列，Sn是其前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，（1）求a1和d；（2）求Tn．21．（12分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？22．（12分）数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和．2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列{an}中，如果an=3n（n=1，2，3，…），那么这个数列是（）A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列C．首项为3的等比数列D．首项为1的等比数列【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】令n=1，代入已知的通项公式，求出a1的值，当n大于等于2时，表示出an﹣1，进而确定出为定值，故此数列为等比数列，可得出首项为a1的值，从而得到正确的选项．【解答】解：∵an=3n，∴当n=1时，a1=3，∴当n≥2时，an﹣1=3n﹣1，∴=3，∴数列{an}为首项是3，公比是3的等比数列．故选C【点评】此题考查了等比数列的通项公式，其中由当n≥2时，为定值，判断出数列{an}为首项是3，公比是3的等比数列是解题的关键．2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．【解答】解：S△ABC===．故选B．【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．3．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（）A．3B．4C．5D．6【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．【解答】解：∵{an}是等比数列∴=a1qn﹣1=×==解得：n=5故选C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及解指数方程，属于基础题，是对基础知识的考查，是送分题．4．在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．【点评】代入验证法是确定点是不是在平面内既简单又省时的一种方法6．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题．7．已知数列{an}的前n项和Sn=，则a4=（）A．B．C．1D．【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】根据数列通项公式和前n项和公式的关系即可得到结论．【解答】解：∵Sn=，∴a4=S4﹣S3=﹣=，故选：B【点评】本题主要考查数列项的求解，根据项和和之间的关系是解决本题的关键．8．不等式≥2的解集为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．【解答】解：⇔⇔⇔⇔﹣1≤x＜0故选A【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号．9．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5B．3C．7D．﹣8【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．10．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4C．9D．18【考点】基本不等式；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值．【解答】解：∵log3m+log3n=4∴m＞0，n＞0，mn=34=81∴m+n答案为18故选D．【点评】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值．11．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．12．（2010•长葛市校级模拟）f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤0B．a＜﹣4C．﹣4＜a＜0D．﹣4＜a≤0【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分三种情况讨论：（1）当a等于0时，原不等式变为﹣1小于0，显然成立；（2）当a大于0时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R不可能；（3）当a小于0时，二次函数开口向下，且与x轴没有交点即△小于0时，函数值y恒小于0，即解集为R成立，根据△小于0列出不等式，求出a的范围，综上，得到满足题意的a的范围．【解答】解：（1）当a=0时，得到﹣1＜0，显然不等式的解集为R；（2）当a＜0时，二次函数y=ax2+ax﹣1开口向下，由不等式的解集为R，得到二次函数与x轴没有交点即△=a2+4a＜0，即a（a+4）＜0，解得﹣4＜a＜0；（3）当a＞0时，二次函数y=ax2+ax﹣1开口向上，函数值y不恒＜0，故解集为R不可能．综上，a的取值范围为（﹣4，0]故选D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论及函数的思想，是中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡相应横线上.13．（2016秋•西乡塘区校级期中）已知等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，则a3=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，∴，解得a3=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．14．（2006•江苏）在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理和题设中的条件求得AC．【解答】解：由正弦定理得，解得故答案为4【点评】本题主要考查解三角形的基本知识．已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理15