高中数学《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计

1《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计一、指导思想与理论依据数学在其自身的发展过程中，充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程．如何使学生在数学学习中，受到数学文化的熏陶，体验到数学思想、方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼、逐步形成“数学的看世界”的思维方式呢？本人经过多年的思考和教学实践证明：“经历”是最好的训练手段．在数学问题的解答、研究过程中，让学生经历“动手、动脑、猜想、修正猜想、验证猜想、严格证明、拓展研究”的数学问题解决、发展的全过程，即合情推理、逻辑推理、数学实验的过程，可以强化学生的种种“感受”，是使学生“掌握知识、技能，提高能力，形成‘数学的看世界’的思维方式”好方法之一．结合教学内容，为了使学生能够更深刻的感知问题背景，为了使猜想更加令人信服，为了更深刻挖掘教学的资源，提高教学效果，本节课使用多媒体课件作为辅助手段（只靠粉笔、黑板是绝不可能达到的）．二.教学背景分析1.教学内容分析由于“通过几何图形性质的坐标形式，求出某些动点的轨迹方程”，是解析几何的基本问题之一；由于对“椭圆焦点三角形的性质”的有关问题的解决，要用到初中、高中的代数、三角和平面几何的知识，对这类问题的解决能有效的体现学生综合运用知识解决问题的能力，因此，它在高考试题中也是“上式率”比较高的内容．所以，对椭圆焦点三角形四心轨迹方程的研究是非常必要的．2.学生情况分析这是一节解题方法探索课．⑴知识方面：学生刚刚学完圆锥曲线的知识，对椭圆的基本性质掌握的比较好；初中学的三角形内心的性质已经淡忘，布置学生课下复习或从网上搜集材料；“求轨迹方程”的方法学生刚刚学完，中等、中下等学生运用的不太熟练，课前需要简单的复习．⑵能力方面：多数同学能够解决一些“求轨迹方程”的简单问题，但是，对2利用画图、轨迹经过的特殊点进行合情推理（猜想、验证）的运用意识和能力不强；综合运用知识解决问题的能力有待提高．为此，我设计了这样一节“解题方法探索”课，以进一步提高学生数学学习能力．⑶学生可能的问题：由于受手画椭圆准确程度的限制，学生可能猜不出轨迹，这时需要课件适时的演示，加以确认；认可轨迹是椭圆后，容易把猜想出的轨迹方程当作所求方程；缺乏严格论证的意识，需要教师加以阐明；中等、中下等学生对给出的知识、方法不会合理应用，需要教师的课上单独辅导（只能是少数的学生）．⑷教学软件：由于教师经常使用《几何画板》软件制作的课件授课，所有学生对《几何画板》软件有一定的了解（多数学生已经安装在自己的计算机上）．3.教学方式与教学手段(1)教学方式的采用:根据本节的教学内容以及学生的知识结构、心理特点，我采用“启发方法、引导猜想，让学生动手实验、动脑探索”的教学方法，让学生经历“数学实验、合情推理、逻辑推理”过程，充分体现学生的主体作用，达到强化学生的“感受”，使学生“掌握知识、技能，提高能力．(2)教学手段的采用为了更有效地突出本节课“探索”的特点，为了更有效地突出研究“几何学”的方法，采用多媒体作为辅助的教学手段，利用《几何画板》的强大的绘图功能及其动态演示，提高学生对图形的认识，引发学生对问题更深入的思考．⑴用课件演示椭圆动态的形成过程和规范的图形，有利于帮助学生建立准确的图象印象和空间想象力，有利于学生正确理解椭圆的性质，有利于学生理解数学对“运动、变化”规律的研究方法．这是粗糙的手绘图形所不能相比的．⑵学生通过画图、观察只能有一部分同学猜出椭圆焦点三角形内心的轨迹是椭圆，多数同学对需要准确的图形来印证，图形连续变化形成轨迹的过程，更具有可信度，间断、粗糙的手绘图形说服力不够（尤其对数学学习有障碍的学生）．⑶学生画椭圆的时候,经常出现的问题是:在长轴顶点位置不光滑或太“尖”；焦距、长轴的比例与离心率不符；掌握不好焦点与准线的位置，……,这些都应当在准确的图形中加以说明．3⑷利用课件中准确的椭圆焦点三角形外心的轨迹，讲解更简单、明了，对学生思路的启发效率更高．⑸课件中椭圆焦点三角形四心的同时运动,可以自然、流畅的把欧拉线问题引入；通过将问题类比到双曲线、抛物线中去，使问题研究的方法、范围自然、流畅的引向它处，．4.信息技术准备运行软件：《几何画板》，《powerpoint》，WINDOWS98以上操作系统。利用《几何画板》软件制作：动态椭圆、动态焦点三角形及其内心轨迹的课件，使图形更直观、形象，猜想更可信．同时，激发学生的学习欲望，引发更深科的思考；利用实物投影展示学生的思路，促进学生之间的交流．三．教学目标及内容框架设计1．教学目标a．通过实验、观察、分析、猜想、验证的过程，巩固基础知识和基本技能；b．通过寻求解题方法的过程，使学生体验数学科思考问题、研究问题的方法；c．通过严格的论证过程，使学生体验数学理性思维的本质特征；ｄ．通过对原问题的不断挖掘、研究，培养学生科学的思维方法和积极探索的精神.2．内容框架设计本课是对书本知识的延伸、基本方法的巩固，以及思维能力的训练.课堂内容包括：复习求轨迹方程的基本方法；展示动态的椭圆焦点三角形，给出问题，引发猜想；学生实验、探索过程；展示所求轨迹，确认猜想；严格论证；进一步的研究．4教学过程设计教学过程教师活动学生活动设计意图复习引入⒈能把你复习到了解或从网上找到的“三角形角平分线和内心的性质”告诉我们吗？⑴三角形ABC中，AD平分∠CAB，则ABBDACCD⑵1()2Sabcr（r是三角形内切圆的半径）⒉如何求动点的轨迹方程：求动点的轨迹方程，既求出动点横、纵坐标的关系式；具体方法有：利用圆锥曲线的定义；利用已知点的轨迹方程；利用所给图形的性质；引进新的参数.可以查笔记，也可以互相交流．回忆知识，提高速度。保留板书新课讲解[展示动态背景,提出问题]⒈展示椭圆的形成过程⒉展示椭圆焦点三角形的运动过程图（1）⒊提出问题：椭圆：)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程是什么？[启发思考，引导猜想]⒈你能猜出它的轨迹吗？通过什么进行猜想？⑴画图：画出几个不同位置的内心，光滑连接.图（2）⑵直接从运动的图中观察.⒉你能猜出它的轨迹方程吗？通过什么进行猜想？⑴通过轨迹与x轴、y轴的交点.⑵猜想：方程1)(222222cacbycx.观察、思考学生动手画图;或继续观察课件.得出:仍然是一个椭圆.学生动手画图、验算：由轨迹通过的特殊点.由动态图形，降低形象力要求，直接观察就可以猜想.启发、引导学生画图、演算适时演示课件，确认学生的猜想，时间不能过长．5新课讲解[展示轨迹，验证猜想]图（3）⒈确实象一个椭圆.⒉通过原椭圆的焦点,与y轴的交点坐标如何求的?图（4）提示：利用三角形角平分线的性质和椭圆的知识．[理性思考，严格论证]⒈你有充分理由说明这个椭圆焦点三角形的轨迹是椭圆吗？——不能通过椭圆的两个定义说明．⒉这个方程可靠吗？——在没有说明是椭圆的时候，这个方程也不可靠．⒊如何说明它的轨迹是椭圆呢？——通过方程．⒋如何正确的求出它的轨迹方程？——借助点P的轨迹方程.展示学生解答过程翘首以待．学生证明．并展示交流．思考问题，可以交流．思考问题，可以交流．思考问题，可以交流．独立思考，设计方案，稍后交流．多方面验证猜想正确后，再考虑证明．运用初中知识，并为后面的证明作好准备．巩固基础知识，同时感受数学理性思考特征．6新课讲解解：如图（5），设点P00,yx，内心I为),(yx，焦点)0,()0,(21cFcF、，11rPF，22rPF，则0212exrr．图（5）过内心I作IFIEID、、垂直2121PFPFFF、、于点FED、、．∵点I是△PFF21的内心，点FED、、是切点，∴得方程组cDFDFrFFPFrEFPE2212211，结合0212exrr，解得：01excDF．而xcDF1，∴0exx，既exx0．………①又∵△PFF21面积0ycS，ycayPFPFFFSF)()(21121，∴0ycyca)(，既0y=ycca．……………②将①②代入)0(1220220babyax，得1)(222222cacbycx．可知，椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆．利用前面所学知识求解.思考问题，可以交流．综合运用三角形内心的性质、椭圆的定义及椭圆的性质和基本方法解题.①式得出的难度教大，应及时引导.得出②式的方法很多,可以交流.[方法小结，巩固练习]椭圆：)0(12222babyax焦点三角形外心的轨迹及其方程是什么？（22||2bcyb）独立思考，设计方案，稍后交流．课堂巩固知识、方法、解题过程．7课堂小结[课堂小结,拓展问题]⒈本节课你对哪些知识、方法有比较深的体会?⒉再遇到新的“求动点的轨迹方程”的问题，你知道怎样去思考，怎样寻找解题的“突破口”吗？⒊你能结合本节课的内容和以前学过的知识,提出一个新的问题吗?回顾反思，提出问题.作业[因人而异，自选作业]请你自选一道题，作为今天的作业．⒈椭圆：)0(12222babyax焦点三角形重心、垂心的轨迹及其方程是什么？⒉双曲线：)0,(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程是什么？因人而异.教学过程流程图开始展示问题情景引出椭圆焦点三角形引发猜想，引出作图由特殊点.验证猜想严格论证巩固练习由画图课堂小结拓展问题自选作业四．学习效果评价本节课，在教师引导学生对“椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程”的实验、观察、猜想、验证、论证的过程中，学生积极地投入到学习活动的各个环节，充分体现了学生在学习活动中的主体地位，椭圆的基础知识、求轨迹方程的基本方法得到巩固和强化，综合运用知识解决问题的能力得以提高；合理的教学结构设计，使课堂气氛活跃，学习氛围融洽，学生思维量大，学生智力得到有效开发；特别是，学生在“实验、观察、猜想、验证、论证”的过程中，体验到了合情推理在数学发现、发展过程中的地位，体验到数学学科理性思考的特征，体验到数学家们“一丝不苟，严谨求实，善于探索”的优良品质；课后学生们都说“这样的课有意思”，对数学问题探索的方式、方法，表现出了8极大的兴趣．本节课是邱老师把自己对这个问题的研究过程，经过分析、提炼、删减、组合设计而成的一节课，充分体现了“研究、教学、学习共同发展”给课堂教学带来的活力，使这节课能力立意突出，充分体现了数学课上培养学生能力的特征和途径．