大学课件 高等数学 4-1(不定积分的概念与性质)

例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（为任意常数）C那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例6求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx例7求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例8求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例9已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.