大学课件 高等数学 4-2(不定积分的换元积分法)

问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法在一般情况下：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf由此可得换元法定理设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.)(xu可导，则有换元公式定理1例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121duu121Culn21.)23ln(21Cxdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例3求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.)ln21ln(21Cx例4求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例5求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例6求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx例7求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx例8求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx例9求.12321dxxx原式dxxxxxxx123212321232dxxdxx12413241)12(1281)32(3281xdxxdx.121213212133Cxx例10求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx例11求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx例13求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln.)cotln(cscCxx（使用了三角函数恒等变形）解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx类似地可推出.)tanln(secsecCxxxdx解例14设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf例15求解.2arcsin412dxxxdxxx2arcsin41222arcsin2112xdxx)2(arcsin2arcsin1xdx.2arcsinlnCx问题?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法其中)(x是)(tx的反函数.证设为的原函数,)(t)()]([ttf令)]([)(xxF则dxdtdtdxF)()()]([ttf,)(1t设)(tx是单调的、可导的函数，)()()]([)(xtdtttfdxxf则有换元公式并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，定理2第二类积分换元公式CxFdxxf)()(,)]([Cx)()()]([)(xtdtttfdxxf)]([tf).(xf说明)(xF为)(xf的原函数,例16求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t例17求解.423dxxx令txsin2tdtdxcos22,2tdxxx234tdtttcos2sin44sin223tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1(sin32tdttcos)cos(cos3242Ctt)cos51cos31(3253t2x24x.4514345232Cxx例18求解).0(122adxax令taxsec2,0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.1sinhcosh22tttaxtaxcosh,sinh也可以化掉根式例中,令dxax221taxsinhtdtadxcoshdxax221dttatacoshcoshCtdtCaxarsinh.ln22Caaxax积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例19求dxxx251（三角代换很繁琐）21xt令,122tx,tdtxdxdxxx251tdttt221dttt1224Cttt353251.1)348(151242Cxxx解例20求解.11dxexxet1令,12tex,122dtttdxdxex11dtt122dttt1111Ctt11ln.11ln2Cxex,1ln2tx说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换.1tx例21求dxxx)2(17令tx1,12dttdxdxxx)2(17dtttt27121dttt7621Ct|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx解例22求解.1124dxxxdxxx1124令tx1,12dttdxdxttt22411111（分母的阶较高）dttt231222121dttt2tuduuu121duuu11121)1(11121uduuCuu11313.1131232Cxxxx说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntxn例23求.)1(13dxxx解令6tx,65dttdxdxxx)1(13dtttt)1(6235dttt2216dttt221116dtt21116Ctt]arctan[6.]arctan[666Cxx基本积分表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa;ln211)22(22Cxaxaadxxa;arcsin1)23(22Caxdxxa.)ln(1)24(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)思考题求积分.)1(ln)ln(dxxxxp思考题解答dxxxxd)ln1()ln(dxxxxp)1(ln)ln()ln()ln(xxdxxp1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp