第二章 控制系统的数学模型

1第二章控制系统的数学模型本章难点及基本要求：能利用学过的各方面知识建立简单数学模型。熟练运用方框图变换化简方法获得系统的传递函数（这是本章的重点）本章主要介绍4种数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图以及相关的一些知识。这是控制系统分析的基础。2在生产实际中的自动控制系统的种类很多，有机械的、生物的、电器的、社会经济的等，对于一个具体的自动控制系统来说，我们最关心的是该系统最终是否能为我们服务，也就是说我们关心的是对某自动控制系统给一个输入信号后，它的输出将如何变化，能不能达到我们的要求。这是我们设计控制系统最为关心的事情。为此我们要对系统进行分析何谓系统分析？在分析控制系统时已知系统的输入，来研究系统的输出将如何变化，称为系统分析。3设计和分析任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法建模方法：解析法：根据所遵循的物理、化学、生物等规律列写系统的运动方程。实验法：通过实验的方法，由系统对输入信号响应，确定系统的运动方程。总结：前种方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而后种适用于复杂，非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效.5一、列写运动方程的步骤用解析法建立运动方程的步骤是：1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列；③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。6线性系统的特点线性微分方程有一定标准解法；适用叠加原理工程控制中，大多数系统都可以忽略一些因素看作为线性系统。经典控制理论主要研究的线性定常系统72-1控制系统微分方程的建立基本步骤：分析各元件工作原理,明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程8列写微分方程的一般方法例2-1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruciidtiRuCr1idtuCc1(21)rccuudtduRC(22)rccuudtduT(23)解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:TRC令（时间常数），则微分方程为：例2-2，RLC无源网络解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得dttictudtticdttdiLtRitucr)(1)()(1)()()(例2-3.设有一弹簧--质量--阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为M。MF(t)kfy(t)13解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力Ky（t）阻尼力惯性力根据牛顿第二定律()/fdytdt22/mdydt式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得MF(t)kfy(t)maFi22()()()()dytdytmfKytFtdtdt(24)式中：y——m的位移（m）；f——阻尼系数（N/m/s);K——弹簧刚度（N/m)。将（2-4）式的微分方程标准化22()()1()()mdytfdytytFtKdtKdtK222()()2()()dytdytTTytkFtdtdt(25)T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了M－K－f系统的动态，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即/TmK2/TfK/2fmK，则可写成(24)1/kK16例3液面控制系统，这里我们主要研究进水量Q1与液面高度H的变化关系,即Q1位输入量，H为输出量。其它量均为中间变量给定输入Q1液面HS—水箱底面积解：若研究Q1变化后，液面高度H的变化规律，我们知道水是不可压缩，根据质量守恒定律sdHdtQQ)(21（1）式中：2Q---为中间变量，HQ2为流量系数将（1）式整理得：sQsQdtdH21HQ2将代入上式得：sQHsdtdH1很显然这是一非线性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统例2-4：直流电机转速开环控制系统uaEdLaRaiaLa—电枢绕组的电感Ra—电枢绕组的电阻Ia—电枢电流Ed—电枢转动时，在电枢绕组上产生的反电势将以上系统用方框图描述直流电动机开环速度控制系统给定输入Ua系统输出n干扰输入Mc解：根据刚体旋转运动定律cMMdtdnJ（1）式中：---电机的转动惯量JMaiiKM；ik电磁力矩常数由（1）式整理，得caiMiKdtdnJ得：iciakMdtdnkJi---中间变量又由克希夫电压平衡定律baaaaaEdtdiLRiu（2）又nkEbb反电势常数联立（1），（2）式消除中间变量，得系统的数学模型cmcamadmmaMkdtdMTkukndtdnTdtndTT22式中：JTkkkkkJRTRLTmmbabiamaaa,1,,讨论：当系统负载不变时，改变输入电压，观察电机转速变化情况当输入电压不变时，改变负载，观察电机转速变化情况当输入电压和负载同时变化时，观察电机转速变化情况22例5直流电机转速闭环控制系统解：解此题我们首先绘制出系统的方框图ub电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-Mc从系统方框图中可见，系统有两个输入量Ub,Mc，系统的输出为电机的转速n逐个写出个环节的微分方程①比较环节②放大环节fbeuuuedauku③控制对象—电机（例3），cmcambdmmaMkdtdMTkukndtdnTdtndTT22④测速发电机nkunf联立以上四个方程，消除中间变量，得cmcambdndammaMkdtdMTkuknkkkdtdnTdtndTT)1(22系统可简化为：电动机UbMcn252－2微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的都具有不同程度的非线性，如下图所示一、小偏差线性化的基本概念于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化很有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系为如下所示的非线性27在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数进行泰勒展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。x可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）0000(,)(,)||xyxyvffzxyxy经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的非线性为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。xkxdxdfyx029叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为2()()()()dctdctctrtdtdt若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。1()()rtrt1()ct2()()rtrt2()ct1()()rtrt2()rt12()()()ctctct30上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。1()()rtart1()()ctacta二、微分方程的增量化描述以电机转速闭环控制系统为例电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-Mc系统的微分方程为cmcambdandammaMkdtdMTkukknkkkdtdnTdtndTT)1(22可见系统有两个输入量{Ub--系统的给定输入Mc--系统的干扰输入要想知道Ub，Mc变化时，输出量n的具体变化情况，就要解上述微分方程，我们知道解二阶微分方程需要两个初始条件，才能确定积分常数。0t即时，??,dtdnn对于转速控制系统来说，有两种情况是我们关心的问题1）当系统处于静止状态，开始进入运行时，系统能否进入我们需要的工作状态。0,0,0dtdnnt----初始条件全为0此时：系统的初始条件不全为0，给我们带来一个十分麻烦的问题，使得我们无法定义传递函数。我们知道传递函数是经典控制理论的数学基础，2）当系统已经处于一个相对稳定的运行状态，此时系统突然出现干扰，系统是否具有抗干扰的能力，当干扰消除或系统是否回到原有的平衡状态0,0,0dtdnnt----初始条件不全为0此时：为此我们要寻找一种方法把初始条件不全为0初始条件全为0采用方法将系统原平衡状态电（相对静止点）作为新的坐标原点，以新坐标原点的增量作为系统的变量，取代原变量，得到以增量形式的运动方程，对增量形式的运动方程，求解时，其初始条件就全为0。解决了定义传递函数的问题。我们以电机转速控制系统为例，来看看此方法在实际中是否可行cmcambadndammaMkdtdMTkukknkkkdtdnTdtndTT)1(22该系统有两个输入量，当系统的两个输入量均为常数时，系统的输出也应为一个常数（1）bobUUcocMM}系统输出onn此时系统的静态方程为comboadonbaMkukknkkk)1(（2）当系统在原输入的基础上有个总量变化bbobUUUccocMMM}系统输出nnno系统数学模型，得)()()())(1()()(000202ccomccoambbadndammaMMkdtMMdTkuukknnkkkdtnndTdtnndTT)()())(1(22ccomcambboadondammaMMkdtMdTkuukknnkkkdtndTdtndTT化简（3）输入发生变化时系统的变化情况，将（3）式与（2）相减，得cmcambadndammaMkdtMdTkukknkkkdtndTdtndTT)1(22（4）从（4）可见它与（1）在形式上完全一样，只是（4）的变量前面多了一个增量符号，实际上控制理论书中的微分方程均为增量方程，只是为书写方便书写时省去了增量符号而已。所以在以后在控制理论书中见到的微分方程多应该想到它是增量方程cmcambadndammaMkdtdMTkukknkkkdtdnTdtndTT)1(22（1）cmcambadndammaMkdtMdTkukknkkkdtndTdtndTT)1(22（4）由此可见上式描述的是在平衡状态点（ub0,Mc0，n0）的基础上改变Ub，Mc时，系统输出n对应的变化关系。这种增量表示，好似数学中的坐标原点平移法(ub0,Mc0,n0)Ub0bbUU0nn0MUbMc0bUcMn()在新的坐标下的变量n040我们将系统的平衡状态点（相对静止点）作为新的坐标原点的方法是有其使用价值的，因为对于一个控制系统我们做关心的应该是当其受到外界干扰影响时，它是否能够抵抗干