高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1，2，3，4，5高等数学课件

罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理第一节微分中值定理。xfba,ba,bfafba,0fxfba,一、罗尔定理定理1：（罗尔中值定理）如果函数满足以下条件：连续；上可导；则至少存在一点，有证明：因为在闭区间值与最小值定理，函数1）在闭区间2）在开区间3）上连续，利用最大xfba,MmmMxfba,ba,在闭区间上存在和最小值。，在是常数函数，的任一点处的导数都为零。最大值1）如果mMbfafmM,bfmba,mfxfba,fhfhfh0limhfhfh0limhfhfh0limhbah,0fhf0h2）如果，因为至少有一个不。即存在使得。又因为在开区间上可导，存在，即存在。我们考虑这点的左导数和右导数，和当充分小时，所以此时有当时，有，等于端点函数值。无妨设所以0hfhf0h0hfhf0lim0hfhffh0lim0hfhffh0f1,0xxf1110xxxxf当时，有利用极限的保号性质因此注：定理中的三个条件缺一不可。在考虑函数2）1）注：定理中的三个条件缺一不可。在注：定理中的三个条件缺一不可。在1211210xxxxxfxfba,ba,abafbffxabafbfxfxFba,二、拉格朗日中值定理定理2：（拉格朗日中值定理）如果函数满足以下条件连续；则至少存在一点，有证明：考虑函数上可导；1）在闭区间2）在开区间ba,ba,abbafabfbabafbfbfbFba,利用罗尔中值定理，至少存在一点，有即xFabbafabfaabafbfafaF0F显然在闭区间连续，在开区间上可导。0abafbffFabafbffbaxxx,,0xxxx,注：设，当时，在区间上利用拉格朗日中值定理0xxxx,xxxxfxfxxfxxxfy10xfIxfIIxx21,12xxxf21,xx21,xx01212xxfxfxf21xfxf当时，在区间上利用拉格朗日中值定理；在与之间存在一点使得定理3：如果函数在区间导数恒为零，那么在区间上恒为零。（无妨设），函数在区间上可导利用拉格朗日中值定理，存在有，即例1：证明：证明：对任给的0arctan12hhhhh。112arccosarcsinxxx10nbabanababanbnnnn11ba,nxxfba,abafbff例2：证明：例3：，证明：证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗中至少存在一点使得日中值定理，在区间ababnnnn1111nnnnbnnaba11nnnnnbababna即又因为所以abnbababnannnn11xfba,ba,],(0baxAxfxx0limAxf0即例4：证明：若函数满足：上连续；上可导；，且则有讲解拉格朗日中值定理的几何意义1）在闭区间2）在开区间3）xFxf,ba,ba,xFba,ba,aFbFafbfFf0aFbFba,0abFaFbF三、柯西中值定理定理4：（柯西中值定理）如果函数满足以下条件：上连续；上可导；在内不为零；，有证明：1）先证明。利用拉格朗日中值定理有1）在闭区间2）在开区间3）则至少存在一点存在xFaFbFafbfxfxxba,ba,aFbFaFbfbFafaFaFbFafbfafaaFbFaFbfbFafbFaFbFafbfbfaba,00FaFbFafbff2）考虑函数显然在闭区间连续，在开区间上可导。利用罗尔中值定理，至少存在一点，有即aFbFafbfFfxf）,[aax0kxfk0af0xf，其中在kafaa,例5：设在上连续、可导，且时，为常数证明：若则方程内至少有一个实根。型未定式00型未定式可化为00型和型未定式第二节洛必达法则000limlimxFxfxaxxaxxFxfxaxlim0limlimxFxfaxaxxFxfaxlim一、型未定式求极限型未定式？如果我们称为2）在点与存在（或为无穷大）则0000axfxF0xFxFxfxFxfaxaxlimlim型未定式。的某去心邻域内，存在且3）什么是定理1：设函数xFxf,满足以下条件1）xa0,0aFafxFxf,aaxax,axxa,xFxf,xFxf,0xFxaxFxfaFxFafxfFf证明：(用图解说明)设为的此去心邻域中一点，定义，根据条件1），在点处连续。在闭区间或在闭区间考虑函数。在此闭区间上连续，在对应的开区间上可导且，利用柯西中值定理，在与之间至少存在有一点axaax注意！当时，也有，令上式两边取极限得：xFxfFfFfxFxfaxaaxaxlimlimlimlimaxxaaxaxlim1,0aaxxxxxxxtansin2sintanlim02220411coslimxxxxexx例1：计算例2：计算注意：使用洛比达法则前，先注意等价无穷小因子替换。注意：非零极限因子先提出来计算。例3：计算x000limlimxFxfxxNNxxfxF0xFxFxfxlimxFxfxFxfaxaxlimlimxt1x0t对于时，未定式也有以下定理：2）存在正数，当时，与都存在且；存在（或为无穷大），则提示：令，当时，定理2：设函数xFxf,满足以下条件1）3）xFxfxaxxaxlimlimxFxfxaxlim2111arctan1arctanlimxxxxxxxlnlim0xnxexlimn0二、型未定式，我们称为型未定式。这种未定形也有类似的定理。例5：计算（）（为正整数，）如果例4：计算例6：计算0000,1,0,0，2201sin1limxxx2101limxxexxxxtan01lim三、可化为型或型未定式的未定式型未定式。注意：尽可能把分子和分母因式分解。注意：随时检查运用洛比达法则后极限变简还是变繁。例7：例8：例9：例10：1sinlim2xxxx注意：此题不能用洛必塔法则计算。计算极限时洛比达法则要和以前的方法相互配合。泰勒中值定理的作用泰勒公式泰勒中值定理的应用第三节泰勒中值定理xf0x0000xxxfxoxxfyxfxfxoxxfxfxxf000x22000xoxaxxfxfxxf22000xoxaxxfxfxxf一、为什么要学习泰勒公式在处可微则：附近的函数值有两个缺点：很小时才能成立。即如果函数2）无法精确判断误差。利用上式表示0x1）只有我们需要对以上公式进行改进0lim220000xxaxxfxfxxfx0lim20000axxxfxfxxfxaxxxfxfxxfx20000limaxfxxfxxfxxxfxfxxfxx22limlim000020000nnnxoxnxfxxfxxfxfxf!!202000…………0xba,1nxba,xf0xxnxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn00200000!!2101!1nnnxxnfxRx0x二、泰勒公式的某个开区间内具有直到阶导数，则当在内时，可表示为的一个次多项式与一个余项之和：其中，这里在与之间的定理：如果函数在含有某个值。证明：要证明以上公式，无非要说明：10100200000!1]!!2[nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnxxnxfxxxfxxxfxfxP00200000!!2101!1nnnxxnfxPxf000000000xPxfxPxfxPxfxPxfnnnnnn10nxxxG00000xGxGxGxGn我们设：即需要证明：再考虑函数对函数xPxfnxGx0x和在以和111000GPfxGxGxPxfxPxfxGxPxfnnnnxPxfnxG10x222010011GPfxGGxPxfPfnnxPxfnnnxGnn0x为端点的区间上利用柯西中值定理。对函数和在以和为端点的…………和在以和为端点的区间上利用柯西中值定理。区间上利用柯西中值定理。对函数也可记为!11000nfxGGxPxfPfGPfnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1011!1!1nnnnxxnfxGnfxPxf00x112!1!0!2000nnnnxnfxnfxfxffxf10xxexf