高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-6(曲率)

第十一节平面曲线的曲率一、弧微分二、曲率的概念三、曲率的计算公式四、曲率半径与曲率圆五、小结一、弧微分xyO)(xfyC0x0xxxxy()()(,)yfxCab对应曲线满足：在内有连续导数000(,):Mxy度量弧长的基点000(,):Mxy度量弧长的基点0(,),MxyCMMss规定有向弧段的值(简称弧)如下：00||()0,sMMsMMC长度=弧段的长,且当的方向与的方向一致(相反)().ssxx则是关于的单增函数0M'MM'(:),.sxds目标求)(xfyCxyO0x0xxxxy0M'MM',(,),,,,xxxabCMMxs取相邻对应上点对应弧的增量为''00sMMMMMM则222'''200'2||||()MMMMsMMxxMMx2'22'2()()||()MMyxMMx2'2'1()||sMMyxMMx''20()lim1()xdsssxydxx2'2'1()||sMMyxMMx'(),()0,sxsx由于单增''2()1(),dssxydx'21().dsydx弧微分公式:如何定量的描述曲线的弯引出曲程度?:直观上工程技术上有时也需要研究曲线的弯曲:船体结构的钢梁,机床的转轴等在荷载作用下要产生弯曲变形,设计时对其弯曲必须有一定限制,这就要定量研究他们的弯曲程度.2.yx直线不弯曲;同一圆周上点弯曲程度相同;其他曲线如抛物线顶点处弯曲最厉害二、曲率的概念12111222,,.MMMTMMTM设曲线光滑的(即对应函数具有连续导数),动点沿曲线从点移动到点切曲线弧线方向从转到切线的转角称的转角为12MM可用曲线弧的转角定量刻画曲转角大的弯曲线的弯曲:程度大;0P1M2Mxy2T1T12121212,MMNNNNMM与的转角相同但由于它们的弧长不同,所以弯曲程度也不同:的比弧长长的弧长短更弯曲转角弧应当用曲线弧的和它的来曲线的刻画长弯曲程度.由此可见:1M2M1N2N平均曲率:.ks单位弧长的弧段上的切线转角,即注:平均曲率反映一段弧整体的弯曲程度,它与转角成正比,与弧长成反比.例1.求直线和圆的平均曲率.解.10,k21.kR直线的平均曲率为圆的平均曲率为与直观事实相符.由于一般曲线在不同点处的弯曲程度是不同的,因此要描述每一点处的弯曲程度.这时,可以用类似于由平均速度引入瞬时速度的方法来定义曲线弧在定点处的曲率.)(xfyCxyO0MM定义00,,.CPMCM设曲线是光滑的取曲线上一点作为度量弧长的基点点是上某定点的临近点0.MMsss又设、处对应的弧长和倾斜角分别为、和、0000(0),,,,limlim.xMMMCMskCMkdkksds当点沿曲线趋于点时此时若平均曲率的极限存在则称此极限为曲线在处的曲率记做即=容易求出:,R1圆在每一点处的曲率都等于其平均曲率这与我们的直观感知一致:圆上各点处的弯曲程度一样;圆的半径越小,曲率越大,从而弯曲得越厉害.三、曲率的计算公式'(),(,)tan,(,CyfxCMxyy设曲线的方程为且具有二阶导数,则曲线在任意点处的切线斜率为为切线倾斜角)''2sec,dyxdx''''2'2,1tan1()dyydxxy'''2,1()yddxy转角的微分为22'2()()1(),Mdsdxdyydx而点处弧长的微分为='''23/2||[(.1)]dykdsy=曲率计算公式例2.'''23112,.yyyxxx由得(1,1)处的曲率为'''23/223/21||22.[1()][1(1)]2xkyy1(1,1)xy求双曲线在点处的曲率.解例3.lnyx求曲线上曲率最大的点解()kx为求的最值,先求可能极值点,'''211,(0),yyxxx于是''2'23/223/223/2||1/.[1()][1(1/)](1)()yxxyxxkx2'25/2122()0.(1)2xkxxx令可得唯一驻点:''220,0;,0,22xkxk当时当时2()2xkx是的极大值点也是最大值点,2ln2ln(,-).22yx曲线在点处曲率最大'''''''2'23/2|()()()()|;[(())(())]ttttktt曲线由参数方程曲线由极坐标方程(),()xtyt()rr2'2''2'23/2|2|.()rrrrkrr四、曲率半径与曲率圆圆是均匀弯曲的,圆周上任一点处的曲率都相等,且曲率等于半径的倒数.利用圆的这一特征,()(,)(0)1/,.yfxMxykkk当曲线在点处的曲率为时,就可以通过半径为的圆将弯曲程度形象的表示出来())(0),1/.yfxMxykkMMCMCkR设曲线在点（，处的曲率为在点处的法线上取线段，使＝().CRyfxM以为圆心,为半径作圆,此圆称为曲在点处的曲率圆线().CyfxM称为曲线在处的曲率中心点1/().RkyfxM曲率圆的半径称为曲曲线在点的率半径处例4.lnyxx求曲线与轴交点处的曲率半径解122.Rk曲率半径为ln(1,0).yxxMM曲线与轴的交点为在交点处的曲率为'''23/2||1.[1())2(]2yykx五、小结弧微分平均曲率.ks单位弧长的弧段上的切线转角,即'21().dsydx曲率曲率半径(中心、圆)00limlimxMMdkksds='''''''2'23/2|()()()()|[(())(())]ttttktt(),()xtyt参数式曲线2'2''2'23/2|2|()rrrrkrr()rr极坐标式曲线'''23/2||[1()]yky()yfx直角坐标曲线