高等数学的教学课件 1-1（函数）

1/552/55第一节函数一、常量与变量二、实数集与绝对值三、函数概念四、函数性质五、由已知函数产生新函数六、常见函数七、小结3/55一、常量与变量常量:在所研究的过程中只取一个定值变量:在所研究的过程中可以取不同的值常量与变量是相对的.4/55区间是指介于某两个实数之间的全体实数..ba且这两个实数叫做区间的端点.,都是实数和设ba}{bxax称为),(ba记作开区间,}{bxax称为],[ba记作闭区间,xOabxOab二、实数集与绝对值5/55}{bxax}{bxax),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxb有限区间无限区间称为半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作),,(是无限区间.xOaxOb6/55区间长度:两端点间的距离(线段的长度)今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I表示.无限区间的场合,注端点、简单地7/55绝对值:00aaaaa)0(a.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:8/55.0,且是两个实数与设a,中心点a为半径),(aU}||{axx的称为点a数集即邻域,记作它是以.的开区间几何表示:),(表示aU.的全体的一切点距离小于与点xa.}{axaxxOaaa),,(aU邻域9/55),(aU有时简记为).(aU),,(aU记作的点a,邻域的去心(空心)0.}{axx），aU(即ax开区间开区间的称为a),(aa,邻域左),(aa的称为a.邻域右10/55在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号、“”表示“对每一个”,或“任取”,或“任意给定”;“”表示“存在”,或“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德(Archimedes)公理:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,.nab使得用逻辑符号,和将阿基米德公理改写:.bna使得,0,ba,Nn逻辑符号11/55三、函数的概念定义设数集,DER、f如果有对应法则，自变量因变量定义域(domain)定义中,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作)(DfRf函数值全体组成的集合称为)(xfrange记作fR),(Df或即.}),({Dxxfyy函数f的值域,,Dx使得对于内的每一数yE都有唯一确定的数与之对应，fD则称是定义在数集上的函数，记为:,|(),fDExyfx,xD,xD对每个(),fx12/55注(2)函数的记号:除常用的f外,如、、Fg相应地,函数可记作:(),ygx等,)(),(xyxFy等,也可记作:y)(xy在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,要用不同的函数符号.构成函数的xyxylg2lg2、是两个不同的函数.(因为定义域不同).如与对应法则f.定义域fD两个要素:(1)13/55(4)对应的函数值y总是唯一的,否则称为如xy是多值函数,它的两个单值支是:,xy单值函数,多值函数.约定:.xy今后无特别说明时,函数是指单值函数.这种函数称为,xD)(xff和记号含义的区别::f自变量x和因变量y之间的对应法则;:)(xf与自变量x对应的函数值;:),(),(DxxfyDxxf或为由它所确定的函数f.(3)14/55即简称函数表示法的(5)而与用什么字母无关,无关特性,xut()()()fff函数的表示法只与定义域和对应法则有关,15/55定义域一般有两种:(1)实际定义域自变量所能取的使算式有意义的定义区间.由问题的实际意义所确定.(2)自然定义域函数的定义域常用区间来表示,又可称为:一切实数组成的集合.16/55例211()25arcsin,lg(23)3xfxxx设解230x231x()fx求的定义域.113x3(1)(1,4].2，－2250x1[5,5];xD23(,);2xD3{|1};xDxx4[2,4];xD定义域是1234DDDDD17/55常用的函数关系表示法列表法;主要有三种形式公式法(解析法).各种表示法,都有其优点和不足.图象法;公式法(解析法)图象法列表法今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;形象直观,富有启发性,便于记忆;便于查找函数值,但它常常是不完全的.也可用语言描述.配合使用图形法和表格法.18/55取自变量在横轴上变化,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指平面点集:通常是一条或几条曲线(包括直线).}),({yxP),(xfyDxRR中的集合xyOyx),(yx)(xfyfRDC函数的图形(图象)19/55四、函数的简单性态增量01uuuu设是一个变量，当从初值变为终值时，则称10,uuuu差为变量的(或改变量)，记为增量即1010,.uuuuuu或注：00uuuu增量可正可负：当时，表示增大；当时,表示减小.u增量记号是一个整体记号.20/550()(),yfxxDxxx在函数中，若自变量在处取得增量1000(),()()()yfxxfxxfxfx则称差为函数0,xyx在处的增量相应于自变量增量(简称函数的),记为增量00()().yfxxfx即注：0yxx不仅与有关，还根有关.函数增量反映出函数值随自变量的变化而变化的重要特性，常用来描述函数的一些性态.000,()xxDyfx并设则函数值相应地从变为21/550(),.yfxxxxyy设函数当在处取得增量时,相应取得增量如果00()(),,fxxfxyKyKxxx或0Kxx(其中是与及都无关的常数)(().)yfxxfx的变化是均则称函数随的匀变化，简称函数是的均匀变化的1.均匀性22/55均匀变化问题的广泛性：物理上：;st匀速直线运动，与;vt匀加速直线运动，与;qt稳恒电流，与;QT质量一定的物体升温，与数学上：;Sa高度一定的矩形面积，与底边;Vh截面积一定的直柱体，与;BQ价格一定的某商品，销售额与销量经济上：均匀变化都可以用线性函数来表示.定理1.()()fxfx函数是均匀变化的充要条件是：是线性函数().yfxKxb23/55,)(Dxf的定义域为设函数时当2121,,xxIxx上在区间则称函数Ixf)(单调.DI区间如果对恒有monotonexyOI)(xfy)(1xf)(2xf1x2x2.单调性(monotonicity)1()fx2(),fx增加;I)(xfy)(1xf)(2xf1x2xxyOincreasing减少;decreasing24/55注2.应指明单调区间,否则会产生错误,1.若定义中()改为(),()fxI则称在上单调不减(增)；1(),0.fxxx如，例:2()(1)(2).fxxx讨论函数的单调性解.(,),D1212,,xxDxx任取设12()()fxfx与下面比较的大小.3321212122212121()()33()(3).fxfxxxxxxxxxxx00?0?25/55容易看出:22121221211,30,xxxxxxxx当1或时()(,1][1,)fx在和上都是单调增加的.不难验证:221221211,30,xxxxxx当-1时()[1,1]fx在上是单调减少的.26/553.有界性(bounded)定义.()0,fxDG设是定义在上的函数,若存在正数,|()|(),xDfxGfxD使得对一切都有则在称上有界.,1|sin|x,1|cos|x),(,2|arctan|x,|cotarc|x),(,|arccos|x,2|arcsin|x]1,1[例.所以它们都是各自定义域上的有界函数.27/55注有界的几何意义如左下图.有界xyOab)(xfGG],[baI无界:110(),..|()|,HxDstfxh不论它多大，()fxD则称在上无界.无界xyO21xHxy1)2,0(I1()(0,2).fxx如在上无界(见右下图)28/55定理2.(),,,fxDmMRxD函数在上有界使得对都有().mfxM,().mMfx定理中的分别称为界和下上界注:显然,有界等同于既有上界又有下界.29/55偶函数的图形),()(xfxf称f(x)为偶函数(evenfunction);,关于原点对称设D有对于,DxxyO)(xf)(xfy)(xfxx4.奇偶性30/55),()(xfxf奇函数的图形称f(x)为奇函数(oddfunction).,关于原点对称设D有对于,DxxyO)(xf)(xf)(xfyxx31/55注(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的概念.(2)奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈奇、偶.32/55的周期.)()(xflxf,Dx使得周期函数(periodfunction).如果存在一个正数l且总有称为f(x)通常称周期函数的周期是指最小正周期.,l周期为的周期函数l,)(Dlx有23l23l2l2lOxy设函数f(x)的定义域为D,则称f(x)是5.周期性(periodicity)33/55例狄利克雷(Dirichlet)函数)(xDy,Qx.CQx,1,0狄利克雷(德)1805-1859有理数点无理数点•1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.34/55五、由已知函数产生新函数1.函数的四则运算12(),(),yfxxDggxxD设有两个已知函数和则它们可通过四则运算产生新函数(在一定条件下).,()()(),Fxfxgx如定义12,xDD()(),fxgx函与的和数记为12()()(),,FxfgxxDD()Fx叫做或简记为.Ffg类似地,可以定义两个函数的差、积、商，多个函数的和、差、积、商.也可以推广到35/55(),,(),,(),ffyfuuDugxxDgDD设且则下式确定一个函数[()],yfgx()()ugxyfu称之为由函数和函数构成的复合函数，,Du它的定义域为变量称为中间变量.,gffg函数与构成的复合函数通常记为即()()[()],.fgxfgxxD2.复合函数36/55注1.().fgffggDD与构成的复合函数的条件是()arcsin,[1,1],fyfuuD如，2()1,[1,1],ugxxxD()[0,1][1,1],fgDD由于gf则函数与能构成复合函数2arcsin1,[1,1];yxxD2()arcsin()2,yfuuugxxxDR但和不构成复合函数，因为()[2,)[1,1].fgDD2.两个以上的函数也可以进行复合,只要它们顺次构成复合函数的条件.2,1,sin,yuuvvxxR如可构成复合函数2sin1,.yxxR37/55(),yfxxy自变量，因变量:yx反映的变化随而变化的关系；:xy实际问题中需研究的变化而变化随的关系：例.(0)yxx圆的面积与半径的函数关系2(),(1)yfxxxy其中是自变量，是因变量；xy反过来，我们可以从下式看出与的关系：(),0.(2)yxyyy容易验证:(2)式也确定了一个函数，其中是自变量，x是因变量.3.反函数(inver