高等数学的教学课件 1-3（函数的极限）

第三节函数的极限一、自变量的绝对值无限增大时的函数极限二、自变量趋向于定值时的函数极限三、单侧极限四、函数极限的性质五、函数极限与数列极限的关系六、小结数列极限:在自变量n无限增大的过程中,对应的函数值nu无限趋近于确定值A.函数极限:在自变量x的某个无限变化过程中,对应的函数值)(xf无限趋近于确定值A.自变量无限变化的过程有如下几种形式：xx无限增大，记为一、xxx无限增大，记为且01xxx无限增大，记为且0200xxxx，记为无限接近某定值二、0001xxxxxx，记为且0002xxxxxx，记为且.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(可任意小表示AxfAxf.的过程中表示xGx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数G,使得对于适合不等式Gx的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或:.1定义定义G.)(,,0,0AxfGxG恒有时使当Axfx)(lim:.10情形x.)(,,0,0AxfGxG恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfGxG恒有时使当Axfx)(lim2.另两种情形:Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx且xxysin3.几何解释:GG.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyGxGxA例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx11,1xx即只需要,0,1G取时恒有则当Gx,0sinxx.0sinlimxxx故xxysin0sinxx要使得例2.1,0limqqxx其中证明证,0任给,0xxqq要使得：)0ln0(lnlnln,lnlnqqxqx，。即：只需：],lnln[qG取,时则当Gx,0xq就有.0limxxq典型极限0limxxe典型极限10,0limqqxx其中例3.11lim2xxx证明证1111111)1(12222xxxxxxx。，故不妨设因11,02xxxx111)1(122xxx，只需要使得,0,)2(1G取时恒有则当Gx)2(1,11(1,111222xxx故）。)1(12xx原式成立二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或:.1定义定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当2.几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数.,,越小越好后找到一个显然例4).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例5.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx例6.lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给,0x取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx.00xxx只要.lim,0:000xxxxx时当证明例7证2sin2cos2sinsin000xxxxxx,0任给,取,00时当xx,sinsin0xx要使.0xx只需.sinsinlim:00xxxx证明22sin12cos000xxxxxx，且又0sinsinxx就有0sinsinlim:0xxxx故是其定义区间内的点，是基本初等函数，若0)(xxf)()(lim00xfxfxx则有：例8.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx例9.4142lim22xxx证明证12221241224141422xxxxxx,0任给，取}12,1min{,00时当xx,41422xx要使,2422xx就有。即，故不妨假设因为31,122xxx,122x只需.4142lim22xxx时，在求极限设)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx两种情况分别讨论。和故需分00xx,0xx从左侧无限趋近;0xx记作,0xx从右侧无限趋近;0xx记作yox1xy112xy三、单侧极限是分段函数的分段点，因为0x左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)()(lim_00AxfAxfxx或记作.)()(lim00AxfAxfxx或记作的极限时函数从左边趋向左极限：)(0xfxx的极限时函数从右边趋向右极限：)(0xfxx.)()()(lim0_00AxfxfAxfxx.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例10证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x例11.2arctanlimxx证明证,0任给，取)2tan(G,时当Gx,arctan22arctanxx要使,2arctanx即2arctanlimxx).2tan(x故只需证毕。就有,2arctanx2arctanlimxx典型极限。求极限设)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx两种情况分别讨论。和故需分00xxyox1xy112xy是分段函数的分段点，因为0x例12解.101)1(lim)(lim)0(00xxffxx.110)1(lim)(lim)0(200xxffxx.1)(lim,1)0()0(0xfffx例131,210,0,1)(xxxbaxxxxf假设都存在及之值，使得、试确定)(lim)(lim10xfxfbaxx解.110)1(lim)0(0xfx.0)(lim)0(0bbbaxfx.1),0()0()(lim0bffxfx存在得：由.1)(lim)1(1ababaxfx.112)2(lim)1(1xfx。，故存在得：由12.11),1()1()(lim1baaffxfx四、函数极限的性质1.惟一性的。存在，则极限值是惟一若)(limxf2.局部有界性若在)(0xfLimxx存在,则必存在0x的一个去心邻域,使得函数)(xf在此邻域内有界。证，，则对于给定的正数假设1)(lim0Axfxx时，，使得当必存在正数00xx,)()(.1)(AxfAxfAxf又有有界。邻域内得此去心在故)(,1)(0xfxAxf.)(,,0,)(lim00同号与使得在此邻域内个去心邻域的一则必存在且若AxfxAAxfxx3.局部保号性证，，则对于给定的正数由2)(lim0AAxfxx时，，使得当必存在正数00xx为半为中心，在以故有2)(.2)(AAxfAAxf同号。与去心邻域内径的邻域内，所以在此Axf)(推论1.2)(,,0,)(lim00AxfxAAxfxx使得在此邻域内个去心邻域的一则必存在且若推论2,)(lim0Axfxx若.0,0)()1(0Axfx则的某去心邻域内若在.0,0)()2(0Axfx则的某去心邻域内若在，的某去心邻域内说明：即使在0)(0xfx。也不能得出0A，的某去心邻域内比如：在0)(020xxfx。但0lim)(lim200xxfxxx海涅(Haine)定理五、函数极限与数列极限的关系的充分必要条件是：Axfxx)(lim0，为极限的数列对任何以)(00xxxxnnAxfnn)(lim都有：xy1sin例14.1sinlim0不存在证明xx证,1nxn取,0limnnx;0nx且,2141nxn取,0limnnx;0nx且nxnnnsinlim1sinlim但,1214sinlim1sinlimnxnnn而1limn二者不相等,.1sinlim0不存在故xx,0六、小结函数极限的统一定义)(;)(lim整标函数Anfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)过程时刻从此时刻以后nxxxNNnNxNxNx)(xfAxf)(0xx00xx0xx0xx00xx00xx过程时刻从此时刻以后)(xfAxf)(