高等数学的教学课件 1-8（函数的连续性）

一、函数的连续性三、函数的间断点四、闭区间上连续函数的性质二、连续函数的运算性质第八节连续函数一、函数的连续性1.函数的增量连续：当自变量的变化很小时，相应的函数值的变化也很小。：处的相应增量在，函数化到相应的函数值从；的增量：处在则变化到从，如果对函数yxxfxfxfxxxxxxxxxf01001010)()()(,)()()()()(0001xfxxfyxfxfy或定义1：设函数f(x)在点0x的某个邻域内有定义,0)()(lim0000limxfxxfyxx（取足够则称函数f(x)在x0处连续,00xxx时间有，则当当自变量x取得增量,xx小，使xx0仍在题设邻域内，函数f(x)有相应的增量：)()(0xfxxfy如果xxx0令由(1)可得)()(000limxfxxfx则得)()(0lim0xfxfxx2.连续的定义(1)定义2：若)()(000limxfxxfx或)()(0lim0xfxfxx则称函数f(x)在x0处连续定义3：设f(x)在x0邻域内有定义，如果对于任给的0，总存在着0,使对于适合不等式0xx的一切值，都能使不等式x)()(0xfxf成立，则称函数f(x)在x0处连续(3)(2)定义4：(单侧连续)若适合，则称在x0处左连续；若)(xf)()(00xfxf)(xf)(xf适合，则称在x0处右连续)()(00xfxf)(xf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf例1：验证函数在处的连续性xxf)()0(00xx证：首先要求在的某邻域内有定义，可取)(xf0x000x任给,0000000)()(xxxxxxxxxxfxf令，解得00xxx00xxx取，则当时，恒有00,minxx0xx00)()(xxxfxf成立。故在处连续xxf)()0(00xx例2：设14100)(2xxxbaxxexfx在及处都连续，求之值0x1xba,解：在处，0x1)0(f1lim)0(0xxefbbaxfx)(lim)0(0由得)0()0()0(fff1b在处，1x314)1(2fbabaxfx)(lim)1(13)4(lim)1(21xfx由得，因故)1()1()1(fff3ba1b2a3.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba二、连续函数的运算性质定理1.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如,,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理2复合函数的连续性.例如,,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy定理3严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.反函数的连续性.例如,,]2,2[sin上单调增加且连续在xy.]1,1[arcsin上也是单调增加且连续在故xy;]1,1[arccos上单调减少且连续在同理xy.],[cot,arctan上单调且连续在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续.定理4：初等函数在它的定义区间上都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间,在其定义域内不一定连续.初等函数的连续性.例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义.初等函数求极限的代入法：)()()(lim000定义区间xxfxfxx★★三、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点.)(),()(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例3.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)0(f,1)0(f),0()0(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy2.可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例4.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)1(f,2)1(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点xoxy1123.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例5.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)0(f,)0(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为的无穷间例6.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★四、闭区间上连续函数的性质定义:.)()()())()(()()(,),(0000值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任意如果有上有定义的函数对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI例如,,sgnxy,),(上在,2maxy;1miny,),0(上在.1minmaxyy,sin1xy,]2,0[上在;0miny,1maxy定理5(最大最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.ab21xyo)(xfy).()(),()(],,[],,[,2121xffxffbaxba有使得注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.xyo)(xfy211xyo2)(xfy推论在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.例7证,],[)(上连续在又函数Xaxf.],[)(上有界在函数Xaxf存在。上连续，且在设函数)(lim),[)(xfaxfx上有界。在证明：),[)(axf，。取存在，设为1)(limAxfx时，，使得当则存在一个XxX0.1)(Axf有上有界。在上，故在),()(.1)(),(XxfAxfX上有界。在故),[)(axf定理6(零值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末在开区间ba,内至少有函数)(xf的一个零点,即至少有一点)(ba，使0)(f.定义:.)(,0)(000的零点称为函数则使如果xfxxfx.),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxfab321几何解释:.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfy推论1(介值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间ba,内至少有一点，使得Cf)()(ba.xyo)(xfy几何解释:MBCAmab1232x1xxyo)(xfy证,)()(Cxfx设,],[)(上连续在则baxCafa)()(且,CACbfb)()(,CB,0)()(ba由零点定理,使),,(ba,0)(,0)()(Cf即.)(Cf.)(至少有一个交点直线与水平连续曲线弧Cyxfy推论2在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例8.)1,0(01423至少有一根内在区间证明方程xx证,14)(23xxxf令,]1,0[)(上连续在则xf,01)0(f又,02)1(f由零点定理,使),1,0(,0)(f,01423即.)1,0(01423内至少有一根在方程xxMm例9.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fFbbfbF)()(,0.)(f即例9：设在上连续。任取。)(xfba,))(,(,2121xxbaxx试证明：对于任意正数，存在一点，使21,),(0bax)()()()(0212211xfxfxf证：方法1作)()()()()(221121xfxfxfxF则在闭区间上连续，且)(xF],[21xx)]()([)()],()([)(12122121xfxfxFxfxfxF)()(21xfxf0)()(21xFxF21xxc或若，则。取都有成立)()()()(212211cfxfxf若，则)()(21xfxf0)]()([)()(2212121xfxfxFxF故存在，使，即),(),(21baxxc0)(cF)()()()(212211cfxfxf方法2因在上连续，故必存在最小值)(xf],[21xxmM最大值。则Mxfm1111)(Mxfm2222)(两式相加，有Mxfxfm)()()()(21221121或Mxfxfm212211)()(故存在，使),(),(21baxxc)()()()(212211cfxfxf212211)()()(xfxfcf即小结函数连续的条件;间断点的分类与判别;(见下图)最值定理；零值定理；介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．可去型第一类间断点0yx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点0yx0x0yx0x0yx0x