高等数学下册 chap2(导数与微分)2-1(导数概念)

一、导数概念引例三、函数可导性与连续性之间的关系四、经济学中的变化率问题二、导数的定义第一节导数概念一、导数概念引例例1变速直线运动的瞬时速度一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时的瞬时速度v(t0).),()(00tsttss)(tv这段时间内的平均速度在每个时刻的速度.解.ts若运动是匀速的,平均速度就等于质点).(tss关系质点走过的路程,00ttt从时刻此式既是它的定义式,又指明了它的计算它越近似的定义为)(0tv,)()(lim000ttsttst并称之为t0时的瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是非匀速的,)(tv平均速度是这段时间内运动快慢的平均值,t越小,表明t0时运动的快慢.因此,人们把t0时的速度注方法,ts0limt例2割线的极限位置——对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题若已知平面曲线),(xfy))(,(000xfxM如何作过的切线呢.初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周但此定义不适应其它曲线.如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置.曲线上点法国数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法,P.deFermat1601-1665从而圆满地解决了这个问题.0x处切线的斜率.),(000yxM已知曲线的方程确定点如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,极限位置即,0MNC在点M处的切线.如图,.0NMT),(xfyxTxyO)(xfyCNM),,(00yxM设00tanxxyy,)()(00xxxfxfNtank00)()(xxxfxf).,(yxN割线MN的斜率为,0xx切线MT的斜率为C沿曲线,M0xxTxyO)(xfyCNM0limxx),(xfy就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性:但在数量1.在问题提法上,都是已知一个函数求y关于x在x0处的变化率.2.计算方法上,(1)当y随x均匀变化时,用除法.(2)当变化是非均匀的时,需作平均变化率的xyx0lim上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,xxfxxfx)()(lim000极限运算:二、导数的定义定义的某个邻域内在点设函数0)(xxfyxxfxxfxy)()(00的称为)(xf,00时变到当自变量从xxx)()()(00xfxxfyxfy的增量函数之比变量的增量x与自平均变化率.,有定义,0x如处可导在并说0)(xxf,0xxy)(0xf中的任何一个表示,)(0xfxy存在,如平均变化率的极限:)1()()(lim000xxfxxfx0limx.)(0处的导数在xxf或,dd0xxxy0d)(dxxxxfxxfxxfx)()(lim000或有导数.可用下列记号则称此极限值为处不可导或导数不存在.特别当(1)式的极限为有时也说在x0处导数是正(负)无注要注意导数定义可以写成多种形式:,)()(lim)(0000xfxfxf.)()(lim)(0000xfxfxf当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x0在利用导数的定义证题或计算时,正(负)无穷时,穷大,但这时导数不存在.)1()()(lim)(0000xxfxxfxfxxxxhhhhhh)(0xf关于导数的说明或如果x0=0,可以写成)0(f特别是,xxfxxfxfx)()(lim)(0000xx0,)()(lim000xxxfxfxx.)0()(lim0xfxfx0xx(1)点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2)如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.xxfxxfyx)()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh注)(0xf,y记作),(xfxydd.d)(dxxf或即或)(xf0xx(3)对于任一都对应着f(x)的一个确定的,Ix导数值.这个函数叫做原来函数f(x)的导函数.右导数单侧导数左导数)(0xf)(0xf;)()(lim000xxfxxfx.)()(lim000xxfxxfx)0(0xf)0(0xf又分别可以解释为曲线)(xfy))(,(00xfx在点的左切线的斜率与右切线的斜率.000)()(lim0xxxfxfxx000)()(lim0xxxfxfxx从几何上处的可导性.)(af且)(bf和.],[)(上可导在闭区间就说baxf处可导在0)(xxf,)()(00都存在和右导数左导数xfxf且相等此性质常用于判定分段函数在分段点如果)(xf在开区间),(ba内可导,都存在,求增量)1(算比值)2(求极限)3(例.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(00limh.00)(C求导举例(几个基本初等函数的导数)步骤);()(xfxxfy;)()(xxfxxfxy.lim0xyyx即CCh0)(C例,sin)(xxf设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx4)(sinxx.22.)(sin)(sin4xxx及求4cosxx即同理可得.sin)(cosxx自己练习例.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx1)(nnnxx更一般地)(.)(1Rxx)(x如12121xx21)(1x11)1(x21x即例.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaaxaaaxxln)(.)(xxee即例.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0exxaalog1)(log.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa即例.0||)(处的可导性在讨论函数xxxf解,||)0()0(hhhfhfhfhfh)0()0(lim0,1hfhfh)0()0(lim0.1),0()0(ff.0)(点不可导在函数xxfy即hhh0limhhh0limxyxyO1.几何意义表示)(0xf特别地:)(,tan)(0为倾角xf)(xfy曲线,))(,(00切线的斜率处的在点xfxM即导数的几何意义与物理意义0xxyO)(xfyCTM))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在点则曲线若;轴的切线平行于Ox).)((000xxxfyy.0)()()(10000xfxxxfyy,)()2(0xf若))(,()(00xfxxfy在点则曲线.轴的切线垂直于Ox:))(,()(00处的切线方程为在点曲线xfxxfy:))(,()(00的法线方程为在点曲线xfxxfy例,)2,21(1斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx.01582yx.方程和法线方程并写出在该点处的切线由导数的几何意义,即即))((000xxxfyy2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.路程对时间的导数为物体的瞬时速度;.ddlim)(0tststvt电量对时间的导数为电流强度;.ddlim)(0tqtqtit为物体的线(面,体)密度.变速直线运动交流电路非均匀的物体质量对长度(面积,体积)的导数三、函数可导性与连续性之间的关系该点必连续.证,)(可导在点设函数xxf)(lim0xfxyx)(xfxyxxxfy)(0limx0.)(连续在点函数xxf)0(0x定理如果函数则函数在在点x处可导,)(xf即函数极限与无穷小的关系所以,][lim0x如,,0处不可导但在x该定理的逆定理不一定成立.注,0)(处连续在xxxf.)(0的角点为xfx连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.xyxyO例.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf,0处在xxy,1sinx,0时当x.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx.11之间振荡而极限不存在和在xyxx01sin)0(x0.,,,)(002xxbaxxxxxf当当设为了使f(x)在x0处可导,解首先函数必须在x0处连续.由于)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(0xf故应有.200xbax又因,20x,0bax.20x)(0xf00)()(lim0xxxfxfxx02020limxxxxxx02x应如何选取a,b?)(0xf00)()(lim0xxxfxfxx020)(lim0xxxbaxxx00)()(lim0xxbaxbaxxx200xbax000limxxaxaxxxa从而,当)(0xf02x,20xaf(x)在x0处可导.,20xb.,,,)(002xxbaxxxxxf当当设应如何选取a,b?为了使f(x)在x0处可导,四、经济学中的变化率问题1。经济学中的边际概念在经济问题中经常把一个函数的导函数称为该函数的边际函数。相应地，把导数值称为边际值。例如，在某产品的生产中，它的成本函数是，)(xcc当产品数量从增到时，成本相应的增量为xxx)()(xcxxccxxcxxcxc)()(而比值表示所改变产量的平均单位成本x令，平均单位成本的极限0x)()()(limlim00xcxxcxxcxcxx表示当产量为时，单位成本的近似值。经济上把x成本对产量的导数称为边际成本)(xcx)(xc2。经济学中的弹性概念弹性是经济学中与导数密切相关的概念。它表示一个经济量对另外一个经济量相对变化的灵敏程度导数的实质:增量比的极限;导数的几何意义:切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导;求导数最基本的方法:由定义求导数.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.六、小结;)()()(000axfxfaxf思考题(是非题),)(.10点可导在若xxf,|)(|.20点可导在若xxf?|)(|0点必可导是否在xxf?)(0点必可导在是否xxf非,)(xxf如处在0x可导;但|)(|xf处在0x不可导.非，如0,10,1)(xxxf1|)(|xf处可导；在0x但)(xf处在0x不可导.