高等数学下册 chap2(导数与微分)2-2(函数的求导法则)

一、函数的和、差、积、商的三、复合函数的求导法则四、初等函数的求导问题二、反函数的求导法则第二节函数的求导法则求导法则定理1,)(),(处可导在点如果函数xxvxu])()([)1(xvxu并且则它们的线性组合、积、商在点x处也可导,);()(xvxu])()([)2(xvxu);()()()(xvxuxvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu).0)((xv.,R一、函数的线性组合、积、商的求导法则)()()3(xvxu证则由导数的定义有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0).()(xvxu])()([)1(xvxu);()(xvxu.,R0limhh),()()(xvxuxf设hxvxuhxvhxuh)]()([)]()([lim0)]()([xuhxu)]()([xvhxv)()(xvxu).0)(()()()()()(2xvxvxvxuxvxu证(3)),0)((,)()()(xvxvxuxf设hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf推论;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf)()()()()()(])([)3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii注意:);()(])()([xvxuxvxu.)()(])()([xvxuxvxu例.sin223的导数求xxxy解23xyx4例.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.cosx.2sin1ln2cos2xxxx例.tan的导数求xy解)(tanxyx2cosxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx)(cotx同理可得xxcossin即.csc2x2vvuvuvu)(cossinxxxxcos)(sin例.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin同理可得)(1xv)()(2xvxv即xxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc.11的导数求xxy解法一2)1()1)(1()1()1(xxxxxy2)1(2x法二11xxy121x)12()1(xy2)1(2x注在进行求导运算中,且也能提高结果的准这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.2)1(12x)(1xv)()(2xvxv用求导法则与用定义求导数时,结果有时不一致,这是为什么?如已知).0(,sin)(3fxxxf求无意义,解.cossin31)(3132xxxxxf)0(f所以,)0(f不存在.上述解法有问题吗?注意问题出在)(0xfx处不连续.因此)(xf可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,0时当x)(xf,0时当x,0用定义!,cossin31332xxxx二、反函数的求导法则定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证,xIx任取xx以增量给的单调性可知由)(xfy,0y于是有,1yxxy,)(连续xf),0(0xy0)(y又知xyxfx0lim)(yxy1lim0)(1y.)(1)(yxf即),0(xIxxx.112x例.arcsin的导数求函数xy解yxsinyycos)(sin且内有在)1,1(xI)(arcsinxycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx同理可得;11)(arctan2xx,0)(sin1y)(arcsinx单调、可导,直接函数反函数.11)cotarc(2xx内在2,2yI注如果利用三角学中的公式:,arcsin2arccosxx,11)(arccos2xx.11)cot(2xxarc,arctan2cotarcxx也可得公式也可得公式三、复合函数的求导法则定理.)()(,)]([,)()(,)(dxdududydxdyxufdxdyxxfyxuufyxxu，即且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证,)(可导在点由uufy)(lim0ufuyu)0lim()(0uufuy故uuufy)(则xyx0lim])([lim0xuxuufxxuxuufxxx000limlimlim)().()(xuf推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例.sinln的导数求函数xy解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot例.)1(102的导数求函数xy解)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx例.arcsin22222的导数求函数axaxaxy解)arcsin2()2(222axaxaxy2222222222121xaaxaxxa.22xa)0(a例.)2(21ln32的导数求函数xxxy解),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxxy)2(3112xxx例.1sin的导数求函数xey解)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11sin2xexxxxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(21.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xx四、初等函数的求导法则2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc3.反函数的求导法则)(1])([1yfxf或.dd1ddyxxy内单调、在某区间如果函数yIyfx)(,0)(yf且在对应区间则它的反函数)(1xfy且可导2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)(（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(是常数)C,内也可导xI4.复合函数的求导法则,)()()(),(都可导及且而设xgufxguufy初等函数的导数未必是初等函数.注的导数为则复合函数)]([xgfy).()()(ddddddxgufxyxuuyxy或利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.例.的导数求函数xxxy解yxxx21))211(211(21xxxxxx.812422xxxxxxxxxx)(xxxxxx211())(21xxxx例.,可导其中函数的导数求gxgey1解xg1xge12111xxgexgxgexxg121yxge1xg1x1例).(000sin)(2xfxxxxxf求设解,0时x,0时xxxxx0sinlim20220sinlimxxx22sin2sinxxxxxxxf2sin)(0)0()(lim)0(0xfxffx1所以010sin2sin)(22xxxxxxxf例.)](sin[的导数求函数nnnxfy解y)(sin1nnxnnxcos).(sin)](sin[)(sin)](sin[cos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn)](sin[1nnnxnf)](sin[nnxf)(sinnx1nnx例与两坐标轴的交点所过曲线证明24:xxy,0x令证,0y令);2,0(Ay轴的交点为曲线与),0,4(Bx轴的交点为曲线与.2y得.4x得24xxy,210xy,214xy由于斜率相等,知二切线平行.(1)求交点,)2(22x221x分别为曲线在A,B点的切线斜率.(2)求导数作的曲线的切线彼此平行..)(,)(的导数求是可导函数设xfxeefyf解分析这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及复合函数求导法则.])([)(xfxeefy)(])([xfxeef)(xfe)]()()([)(xfefeefexxxxf][)()(xfxeefxxeef)()()(xfexf)(xef(注意成立条件);复合函数的求导法则五、小结])()([xvxu)()(xvxu);()(xvxu.)()(xvxu不能遗漏);(对于复合函数,反函数的求导法则层的复合结构,注意一层函数的积、商求导法则注意记住基本初等函数的导数公式3.用求导公式求导数(区间内点处).1.用定义求导数(分段点处或因条件所限必须用定义求)2.用左右导数定义求导数(分段点处或区间端点处)注意思考题(是非题).)]([,0处不可导在则处不可导xxf)()(,)(000xuufyxxu在处可导在若非例如2)(xxu处处可导,||)(uufy0)0(0u在处不可导,但复合函数2)]([xxfy处处可导.1、试证：可导偶函数的导函数是奇函数。证明).()()(xfxfxf为偶函数，则])([)()()()(