搜索
4.5.1函数的零点与方程的解第四章指数函数与对数函数中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法.情境引入中外历史上的方程求解13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.情境引入中外历史上的方程求解国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。情境引入2020/11/8我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.y63x02在图像上显示为情境引入画出下列函数的图象(1)f(x)=x-1f(x)=x2-2x+1(2)f(x)=f(x)=(3)f(x)=2x-1f(x)=log2x1x,11,1xxx思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与方程f(x)=0的解有什么关系？再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看其交点横坐标与f(x)=0的解有什么关系？情境引入2020/11/8函数的零点定义：函数y=f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点等价关系对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点是点吗？答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。零点的求法代数法图象法探索新知2020/11/8问题1像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。探索新知对于二次函数f(x)=x2-2x-3,观察它的图象(图4.5-1),发现它在区间[2,4]上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系?再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法.图4.5-1211-22-134-1-2-3-40yx探索新知可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x=4的取值异号，即f(2)f(4)0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。同样地，f(-2)f(0)0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2,0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。211-22-134-1-2-3-40yx探索新知2020/11/8观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b)f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c)f(d)_____0（＜或＞）．bac0yxd有＜有＜有＜探索新知如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。函数零点存在定理探索新知思考1：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？ab0yx思考2：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？ab0yx这说明什么？“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)0”这两个条件缺一不可探索新知思考3：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)0？abxy0这说明什么？“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)0”这两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。探索新知问题4如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？ab0yx这又说明什么？函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。探索新知例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点解：根据函数零点的定义，令𝑓(𝑥)=𝑙𝑔(𝑥−1)=0则𝑥−1=1,𝑥=2所以𝑓(𝑥)=𝑙𝑔𝑥−1的零点是𝑥=2.例题讲解2020/11/8由表4.5-1和图4.5-2可知f(2)0,f(3)0，即f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点。解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表（表4.5-1）和图象（图4.5-2）例2已知函数f(x)=lnx+2x－6，能判断出函数零点大致在那个区间上吗？.........x0－2－4－6105y241086121487643219例题讲解解：由已知，函数f(x)=ln𝑥+2𝑥−6的定义域为(0,+∞)。∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数，∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，又∵f(2)=ln2+2×2－60f(3)=ln3+2×3－60如何求方程ln𝑥+2𝑥−6=0实数解的个数？∴函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点。思考：求方程ln𝑥+2𝑥−6=0实数解的个数可不可以转化成求函数f(x)=lnx和f(x)=-2x+6图象交点的个数？例题讲解例3判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．解：[法一图象法]函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．请同学们练习课本P1441题思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。函数零点存在定理的推论：巩固练习2020/11/8练习：A．1,2B．2,3C．11,e和3,4D．,e(B)是的零点所在的大致区间x2lnx1.函数f(x)2、在区间[3,5]上有零点的函数是( ) 𝐴、𝑓(𝑥)=2𝑥ln(𝑥−2)−3 𝐶、𝑓(𝑥)=2𝑥−4 𝐵、𝑓(𝑥)=−𝑥3−3𝑥+5 𝐷、𝑓(𝑥)=−1𝑥+2A巩固练习函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点1、函数的零点与方程的解的关系：方程f(x)=0有实数解2、判断在某个区间是否存在零点的方法如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。函数零点存在定理本节课同学们有什么收获和体会？课堂小结课后作业作业本A1、课本P155第2,3题2、金版P100-P101