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-1-4.5.1函数的零点与方程的解.-.指数函数与对数函数首页核心素养培养目标核心素养形成脉络1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.2.理解函数的零点与方程的解的联系.3.掌握函数零点存在的条件,会利用两种角度判断函数零点的个数.4.要深刻理解零点存在定理,并能解决零点的存在性等问题.课前篇自主预习一二三一、函数的零点1.已知函数f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.提示:交点坐标A(-3,0).(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?提示:相等.课前篇自主预习一二三2.填空:函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.4.你能说出函数①y=lgx;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?提示:①y=lgx的零点是x=1;②y=lg(x+1)的零点是x=0;③y=2x没有零点;④y=2x-2的零点是x=1.课前篇自主预习一二三5.做一做:函数f(x)=x2-1的零点是()A.(±1,0)B.(1,0)C.0D.±1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.答案:D课前篇自主预习一二三二、方程、函数、图象之间的关系1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?课前篇自主预习一二三提示:方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(-1,0),(3,0)(1,0)无交点函数的零点-1,31无零点课前篇自主预习一二三(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.课前篇自主预习一二三三、函数零点存在性定理1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[-2,1]上有零点x=-1,而f(-2)0,f(1)0,即f(-2)·f(1)0.二次函数在区间[2,4]上有零点x=3,而f(2)0,f(4)0,即f(2)·f(4)0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.2.填空:函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.课前篇自主预习一二三3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?提示:不一定成立,由下图可知.4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)0是否一定成立?提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.课前篇自主预习一二三5.判断正误:函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()答案:×6.做一做:函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上()A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]解析:因为f(-2)=-110,f(-1)=-20,f(0)=10,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16;分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-18或x=1.所以函数的零点为-18,1.(2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=13.所以函数的零点为13.(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.所以有1+2=-3(𝑚+1),1×2=𝑛,解得𝑚=-2,𝑛=2.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数零点存在定理判断函数零点的个数例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.分析:(方法一)计算f(0)与f(2)确定f(x)在区间(0,2)内有零点判断f(x)的单调性确定f(x)的零点个数(方法二)重新构造函数h(x)=2-2x与g(x)=lg(x+1)在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象h(x)与g(x)图象公共点的个数即为f(x)零点的个数课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-10,f(2)=4+lg3-2=2+lg30,∴f(x)在区间(0,2)内必定存在实数根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)判断函数f(x)=x-3+lnx的零点个数.(1)解析:∵b2=ac,∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+lnx=0,则lnx=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=lnx与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=lnx与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+lnx只有一个零点.(方法二)因为f(3)=ln30,f(2)=-1+ln2=ln0,所以f(3)f(2)0,说明函数f(x)=x-3+lnx在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+lnx在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.2𝑒课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练判断函数的零点所在的大致区间例3(1)方程log3x+x=3的解所在的区间为()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为.分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-20,f(2)=log32+2-3=log30,f(3)=log33+3-3=10,f(4)=log34+4-3=log3120,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知f(-1)=0.37-10,f(0)=1-20,f(1)=2.72-30,f(2)=7.39-40,f(3)=20.09-50.由零点存在定理可得f(1)f(2)0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.答案:(1)C(2)123课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟1.依据函数零点存在定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点).2.判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代.将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少有一个零点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练3(1)函数f(x)=2x-1𝑥的零点所在的区间是()A.0,12B.12,1C.1,32D.32,2(2)若函数f(x)=x2-1𝑥-1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=()A.1B.2C.3D.4课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法随堂演练解析:(1)∵f(x)=2x-1𝑥,且f(1)=2-1=10,f12=2-20,∴f(1)·f120.∴f(x)在区间12,1内存在零点.(2)因为k∈N,所以k≥0,y=x2和y=-1𝑥-1在(k,k+1)上单调递增,因此函数f(x)=x2-1𝑥-1在(0,+∞)上单调递增.f(1)=-1,f(2)=4-12-10.故由f(1)f(2)0知函数f(x)=x2-1𝑥-1的零点在区间(1,2)上,所以k