基本群的定义

基本群的定义将基点为0xX∈的圈同伦类构成的集合记为()10,Xxπ。若[]α和[]β属于(1,Xx)0π，则其乘积定义为[][][]αβαβ=∗D由上一节最后的引理，此乘积有很好的定义，即它与代表元的选取无关。定理：(1,Xx)0π在乘法运算“”下构成一个群，此群的单位元是D0x点的常值圈所属的同伦类，称为拓扑空间在0xc⎡⎣⎤⎦X0x点的基本群或第一同伦群。证明：为了证明该定理，我们需要验证乘法“D”满足群的所有公理。在这里，我仅仅讨论结合律。即[][]()[][][][]()αβγαβγ=DDDD或者说()()αβγαβγ∗∗=∗∗⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦因此我们只需要证明()()αβγαβγ∗∗≈∗∗注意到()()()()[]()[]()[]()[]()[]14121142121240,20,41,21,121,1tttttttttttααβαβγβγγ⎧∈⎧∗∈⎪∗∗==−∈⎨⎨−∈⎩⎪−∈⎩以及()()[]()()[]()[]()[]()[]12123124123420,20,42,21,143,1ttttttttttαααβγββγγ⎧∈⎧∈⎪∗∗==−∈⎨⎨∗−∈⎩⎪−∈⎩第1页，共9页现在()αβ∗∗γ)和(αβγ∗∗之间的伦移函数H可以用图1画出来。当s从变为1时，圈0()αβ∗∗γ变为了圈()αβγ∗∗。如果假定这种改变是线性的话，即将点()14,0ts==与()12,1ts==；()12,0ts==与(34),1ts==用直线相连接，那么通过几何关系我们可以得到(),Hts的表达式()()410,1412,41,44422,124tstsssHtststtsstsαβγ⎧+⎛⎞⎡⎤∈⎜⎟⎪⎢⎥+⎝⎠⎣⎦⎪⎪++⎡⎤=−−∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪−−+⎛⎞⎡∈⎪⎜⎟⎤⎢⎥−⎝⎠⎣⎩⎦0110x0x0x0xαβγγβα14121234ts图1根据这个定理，很显然，()1,Xx0π依赖于所选择的圈的基点0x。如果相对于不同的基点，基本群不相同，这对于我们来说是一个灾难。幸运的是，对于道路连通的的拓扑空间，相对于任何两个不同的基点X0x和1x，()10,Xxπ与第2页，共9页()11,Xxπ是同构的。定理：若是道路连通的拓扑空间，X01,xxX∈，则群()10,Xxπ与(1,Xx)1π是同构的。0x1x0α1αγ1γ−X图2证明：设0α、0β是基点为0x的圈，1α、1β是基点为1x的圈，γ是从0x到1x的一条道路。从图中可以看出，利用道路γ和1γ−，我们可以将基点在0x的圈0α变为一个基点为1x的圈，反过来，也可以将基点为1x的圈1α变为基点为0x的一个圈。因此，我们可以定义下面的同态映射()()[]1011100:,,rXxXxσππαγαγ−→⎡⎤∗∗⎣⎦6以及()()[]11110110:,,rXxXxσππαγαγ−−→⎡⎤∗∗⎣⎦6首先我们证明rσ是群同态，即保持群的乘法运算第3页，共9页[][]()[]()[][][]()[]()10101011011101110101rrrrσαασααγααγγααγγαγγαγγαγγαγσασα−−−−−−⎡⎤=∗=∗∗∗⎣⎦⎡⎤=∗∗⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∗∗∗⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∗∗∗∗⎣⎦⎣⎦=DDDDDD接下来我们还需要证明rσ是群同构，也就是说[]()[][]()[]11001andrrrr1σσαασσαα−−==DD这是很直接的，譬如[]()()[][][]110010011011000rrrxxccσσασγαγγγαγγγγαγγαα−−−−−−−⎡⎤=∗∗⎣⎦⎡⎤=∗∗∗∗⎣⎦⎡⎤⎡=∗∗⎤⎣⎦⎣⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦DDDDD⎦)0类似的，也可证明等二个等式。该定理说明：对道路连通空间，基本群与基点选择无关（在抽象群的意义上讲）。因此，我们就可以将(1,Xxπ简写为()1Xπ，并称它为道路连通空间的基本群。那么对于不同的空间，基本群是否存在联系呢？或者说，我们基本群是否是拓扑不变量呢？X定理：若和是两个有相同伦型的道路连通的拓扑空间，则XY()10,Xxπ与()1,Yy0π同构，其中0xX∈，0yY∈。由于两个同胚的空间必定有相同的伦型，故有下面的推论。推论：若和Y是同胚的道路连通的拓扑空间，则X()10,Xxπ与(1,Yy)0π同构，其中0xX∈，0yY∈。推论：若是道路连通拓扑空间，XA是的形变收缩核，则X第4页，共9页()1,Xaπ与()1,Aaπ同构（aA∈）。这一推论的用处是很明显的。若我们可证明A是的一个形变收缩，而且我们知道如何计算其中一个空间的基本群，那么，也就同时确定了另一个空间的基本群。X例如，如果拓扑空间中只有一个点Xx，那么基点为x的圈就只有一个，即xc，因此{}()1xπ就只有一个元素，即恒等元。所以一个点的基本群是平庸的。由此我们得到任何一个可缩空间的基本群都是平庸的，特别是(){}11nEπ=。如果一个道路连通拓扑空间的基本群是平庸的，我们将其称为单连通的，否则称它是多连通的。所以可缩空间必然是单连通的；反过来，单连通的空间却未必是可收缩的，譬如。2S再比如，单孔平面{}20E−与单位圆有相同的伦型，而由这一章引言中关于圈的讨论，我们预期1S()11Sπ与整数加法群是同构的，因此{}()210EZπ−≈。类似的，双孔平面的基本群{}{}()21Epqπ−−就应该与()18π同构。这里，我将通过图形说明{}{}(21Epqπ−−)是一个非Able群。从图3中我们可以推断出，圈α不能连续地变形为β，即α≈β另一方面，利用圈γ我们却可以将圈α从变为一个与β同伦的圈，即1γαγβ−∗∗≈因此[][][][][][][][]1orγαγααγγα−≠≠DDDD第5页，共9页即{}{}()21Epqπ−−是非Able的。0x0x0xαβγ图3到目前为止，我们还没有讨论如何确定给定空间的基本群。下一节，我们将首先引入一个称为多面体的特殊拓扑空间，而后不加证明地给出计算多面体基本群的定理或步骤。简单地说，多面体可看作某个欧氏空间的一个子空间，它是通过将一些称为单形的基本空间粘合而得到的。单形pps是2维三角形到维的推广：p2s是一个三角形，3s是一个四面体，等等。如果单形以这样的方式粘合：使得两个单形要么不相交，要么交于一个公共顶点或边，就得到了多面体。下面我们用精确的语言对其描述。第6页，共9页附录：道路同伦这里有必要交待一下道路乘积以及道路同伦的概念。设α是中从X0x到1x的道路，而β是从1x到2x的道路，即α的终点是β的起点（()()10αβ=），对于这样两条道路，我们可以定义它们的乘积γαβ=∗为一条0x到2x的道路：()()()[]()[]20,122112,1ttttttαγαββ⎧∈⎪=∗=⎨−∈⎪⎩而对于从0x到1x的两条道路α和α′，如果存在一个连续映射:HIIX×→，使得对I中每一个s，t都有()()()()()()01,0,,10,,1,HttHttHsxHsxαα′====则称α与α′同伦，记为αα′≈，并称H是α与α′间的伦移。类似于圈的情形，我们也可以将从0x到1x的所有道路划分为一些同伦类，并在从0x到1x的道路同伦类与从1x到2x的道路同伦类之间定义一种乘法运算：[][][]αβαβ=∗D因此，圈同伦可以看作道路同伦的特殊情形。你可以证明下面一个很有用的结论（留做习题）：如果γ是从0x到1x的一条道路，那么0111andxxccγγγγ−−≈≈DD第7页，共9页附录：若和Y是有相同伦型的道路连通拓扑空间，则其基本群同构。X引理：设:FXIY×→是两个映射():0ifXYi→=,1间的伦移，其中()0iifxy=；γ是Y中从0y到1y的一条道路。那么0r1ffσ∗∗=D。这里()()()[]()[]()10110:,,0,1,iiifXxYyifXxππαααπ∗→=∈⎡⎤⎣⎦6()()[][]()1011110:,,,YyYyYyγσππβγβγβπ−→⎡⎤∗∗∈⎣⎦6证明：由于我们感兴趣的是if∗对圈同伦类的作用，而映射0f和1f是同伦的，因此，我们考虑下面的映射:GIIY×→它由()()(),,GtsFtsα=定义，其中()tα表示中基点为X0x的圈。这个映射可以用图来表示。()0fα()1fα0x0y1yγ1yγtsG对于固定的s，(),Gt是Y中基点为s()sγ的圈，不妨记为G，因此，()st第8页，共9页这个映射沿着道路γ将圈()0fα连续地变为圈()1fα。现在如果令()stγ表示从()sγ到()11yγ=的道路，它就可以表示()()()()()()()11with0and11ssststssyγγγγγγ=−+===因此1ssGsγγ−∗∗就是Y中基点为为1y的圈。当s从变为1时，Y中基点为0()00yγ=的圈()110000Gfγγγαγ−−∗∗=∗∗就连续地变为基点为()11yγ=的圈()11111111yGcyfcγγα−−∗∗=∗∗，所以我们得到结论：()()(111101yyfcfcf)1γαγαα−−∗∗≈∗∗≈因此[]()()()()()[]()10001fffffγγ1σασαγαγαα∗−⎡⎤==∗∗==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦D∗1即0ffγσ∗=D∗。##现在由于和有相同的伦型，因此我们有连续映射XY:fXY→和，并且:gYX→idandidYXfggf≈≈DD由引理得到()idYfgfγσ∗g∗∗∗==DDD由于γσ是一个同构，并且显然idY∗也是同构，所以上式意味着fg∗∗D也是同构。同样可证明gf∗∗D为同构。这样我们就证明了和Y的基本群是同构的。X第9页，共9页